정규분포를 따르는 확률변수의 합의 성질

정규분포를 따르는 확률변수의 합

 

모집답의 확률변수 $X$가 정규분포 $N\left( m, \sigma^2 \right)$를 따를 때,   모집단에서 임의 추출한 $n$개의 표본의 합 $S$ $$S\sim  \left( nm, n \sigma^2 \right)$$를 따른다.

 

 

[증명] 정규분포 $X\sim N\left( m, \sigma^2 \right)$를 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X\,}$는 정규분포 $N\left( m, \displaystyle\frac{\sigma^2}{n} \right)$를 따른다.

 

$\bar{X}=\displaystyle\frac{X_1 +X_2 + x_3 + \cdots + X_n}{n}$ 에서

$X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n = S$ 라 하면

$S=n \bar{X}$ 가 된다.

한편,

$$E(S)=E(n\bar{X})=nE(\bar{X})=nm$$

$$V(S)=V(n\bar{X})=n^2 V(\bar{X})=n^2 \times \frac{\sigma^2}{n}=n\sigma^2 $$

따라서 확률변수 $S$는 평균이 $nm$,  분산이 $n \sigma^2$ 인 정규분포를 따른다.

$$S \sim N \left( nm, \, n\sigma^2 \right)$$

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

Exmaple 1 

 

A사에서 판매하는 1등급의 달걀 1개의 무게는 평균 49(g) , 표준편차가 6(g)인 정규분포를 따른다. A사는 1등급의 달걀 36개를 한 판으로 포장하여 판매한다. 어떤 고객이 1등급의 달걀 한 판을 구매했을 때, 그 무게가  1800(g)이상일 확률을 구하여라.단, 포장 재료의 무게는 제외하고 $P(0\leq Z \leq 1)=0.3413)$ 이다.

 

 

[해설] 1등급의 달걀 36개의 한 판의 무게의 합을 $S$라 하면

$$S \sim N(\color {red}{36\times} \color{black}49, \; \color{red}{36\times} \color{black}6^2)=N(1764, \; 36^2)$$

\begin{align}
P(S \geq 1800)&=P \left( Z \geq \frac{1800-1764}{36} \right) \\
&=P(Z\geq 1) =0.5-P(0\leq Z \leq 1) \\
&=0.5-0.3413=0.1587
\end{align}

 

 

 

Exmaple 2 

 

어느 회사에서 생산되는 초콜렛 1개의 무게가 정규분포 $N(15, 4^2\,)$을 따르고, 이 제품 4개를 포장해서 한 상자에 넣어서 판매한다고 한다고 한다. 임의로 이 제품 한 상자를 구입하였을 때, 구입한 상자의 무게가  52kg이상  76kg이하가 될 확률을 구하시오. (단, 상자의 무게는 고려하지 않고 $P(0\leq Z \leq 1)=0.3413,\; P(0\leq Z \leq 2)=0.4772$ 이다.)

 

 

[해설] 초콜렛 한 상자의 무게의 합을 $S$라 하면

$$S \sim N(\color{red}4\times \color{black}15, \; \color{red}4\times \color{black}4^2)=N(60, \; 8^2)$$ \begin{align}
P(52\leq S \leq 76)&=P \left( \frac{52-60}{8}Z \geq \frac{76-60}{8} \right) \\
&=P(0-1 \leq Z \leq 2) \\
&=P(0\leq Z \leq 1)+P(0\leq Z \leq 2) \\
&=0.3413+0.4772=0.8185
\end{align}

 

 

Exmaple 3 

 

어느 도시에서 공용 자전거의 1회 이용 시간은 평균이 60분, 표준편차가 10분인 정규분포를 따른다고 한다. 공용자전거를 이용한 25회를 임의추출하여 조사할 때, 25회 이용시간의 총합이 1450분 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, $P\left( 0 \leq Z \leq 1\right)=0.3413$ )

 

 

[해설] 이용시간의 총합을 $S$라 하면

$$S \sim N(\color{red}25\times \color{black}60, \; \color{red}25\times \color{black}10^2)=N(1500, \; 50^2)$$ \begin{align}
P(S \geq 1450)&=P \left( Z \geq \frac{1450-1500}{50} \right) \\
&=P(Z \geq -1) \\
&=0.5+P(0\leq Z \leq 1) \\
&=0.5+0.3413=0.8413
\end{align}