적분의 대칭성

■ 정적분의 대칭성

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$

[증명] 

(1) 치환적분을 이용

     $t=a+b-x$로 치환하면 $dt=-dx$에서

\begin{align}    

\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx&=\int_{b}^{a}f(t)(-dx) \\

&=\int_{a}^{b}f(t)dt

\end{align} 

(2) 대칭성 이용

그림에서 $y=f(x)$ 그래프와 $y=f(a+b-x)$ 그래프는

직선 $x=\displaystyle\frac{a+b}{2}$에 대칭이므로
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$가 성립함을 알 수 있다.

 

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \left \{ f(x)+f(a+b-x)  \right \}dx$$

$$A=B \;\; \Leftrightarrow \;\;  A=\frac{A+B}{2}$$의 성질을 이용해서 간단하게 활용할 수 있다.

 

 

 

Example 1

$\displaystyle\int _{-1}^{1}\frac{e^x}{e^x +e^{-x}}dx$ 를 구하여라.

[풀이]  $I=\displaystyle\int _{-1}^{1}\frac{1}{1+e^{-2x}}dx$ 라 하면$$I=\displaystyle\int _{-1}^{1}\frac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx=\displaystyle\int _{-1}^{1}\frac{e^{-x}}{e^x +e^{-x}}dx$$에서 $$I=\frac{1}{2}(I+I)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}1dx=1$$

 

 

따름정리

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx $$

[증명]  

\begin{align}

\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx &=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f \left\{\cos \left(0+\frac{\pi}{2}-x \right) \right\}dx \\

&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx

\end{align}

 

Example 2

$\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ 를 구하여라.

[풀이]  $$I=\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4\sin x}{\sin x + \cos x}dx=\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4\cos x}{\sin x + \cos x}dx$$ 에서

\begin{align}

I&=\frac{1}{2}(I+I) \\

&=\frac{1}{2} \left ( \displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4\sin x}{\sin x + \cos x}dx +\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4\cos x}{\sin x + \cos x}dx    \right ) \\

&=\frac{1}{2} \displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}4dx=\pi

\end{align}