틀을 깨는 기발한 수학

적분의 활용 | 잘린 원기둥의 부피 | 반구에 채운 물의 부피 $$V=\frac{2}{3} r^3 \tan \theta$$ 원기둥을 비스듬히 잘랐을 때 생기는 부분 중 작은 쪽은 부피를 구해보자. 대부분의 교과서와 참고서에서는 단면을 직각삼각형을 만들어서 적분으로 구한다. 단면을 직각삼각형이 아닌 여러 가지 형태로도 부피를 구할 수 있다. 이 번 포스팅에서는 직각 사각형을 만들어서 부피를 구하기로 해보자. [증명] 원기둥의 밑면의 중심을 $O$, 밑면의 지름을 $x$축, $y$축으로 잡는다. $x$축에 수직으로 자른 단면 직사각형 $PQRS$의 넓이를 $S(x)$라 하면 $$ \overline{MN}=\overline{ON}\tan \theta =x \tan \theta, \;\; \overline {P..

곡선 $y=a \cos x$와 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 곡선 $y=b \sin x$ 가 이등분하기 위해서는 $a:b=4:3$ 을 만족한다.(단, $a>0,\; b>0 )$ [증명] 곡선 $y=a \cos x$와 $x$축, $y=b \sin x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{1}$, 곡선 $y=b \sin x$와 $y=a \cos x$, $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{2}$라 하자. $S_{1}=S_{2}$ 성립함을 보이면 된다. $(i) a \cos t = b \sin t $이라 하면 $\tan t = \displaystyle\frac{a}{b}$ \begin{flalign} (ii) S_{1}&=\displaystyle \int_{0}^{t}(a \cos x - ..

직선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 같을 때, 공통인 영역을 끼워 넣어서 한 쪽을 삼각형 또는 사각형 같은 기본도형이 포함되게 나누어 준다. 적분 계산 과정을 많이 줄여주기 때문에 연습해서 두면 유용하다. Example 1 오른쪽 그림과 같이 곡선 $y=-x^{2}+3x$ 와 두 직선 $y=ax$, $x=3$ 로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같을 때, 상수 의 값을 구하여라. [해설] 두 도형의 사이의 하얀색 부분의 넓이가 같다. 끼워 맞추어 주면 아래와 같게 된다. $ \displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 3a = \displaystyle\frac{\left| -1\right| (3-0)^{3}}{6}$ $\therefore \; a=1$ Example 2 다음 ..