| 부등식 \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는 $$ \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$ |
착안점은 부등식을 방정식으로 변형해주면 된다.
$$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n $$ $$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$
(1) \( \ x_{1} + x_{2} + x_{3} +, \cdots, + x_{k} < n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는
\( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n-1 \) 로 변형한 다음
마찬가지 방법으로
$$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n-1 $$
$$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n-1} $$
이 됨을 알 수 있다.
(2) \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n \)을 만족하는자연수의 개수는
\( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n-k \) 로 변형해 주면 음아닌정수의 개수와 같게 되므로
$$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n-k $$ $$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n-k} $$
이 됨을 알 수 있다.
(3) \( \ x_{1} + x_{2} + x_{3} +, \cdots, + x_{k} < n \) 을 만족하는 자연수의 개수는
\( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n-1 \) 로 변형한 후
$$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n-1 $$ $$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n-k-1 $$의 음아닌정수의 개수와 같게 되므로
$$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n-k-1} $$
이 됨을 알 수 있다.
이상으로 중복조합에 부등식이 포함될 때 정수해에 대해서 알아보았다.
'확률과 통계' 카테고리의 다른 글
| 경우의 수 공나누기 비교분석 | 중복순열 | 중복조합 | 분할분배 (2) | 2022.06.23 |
|---|---|
| 기발하게 둔각삼각형|예각삼각형|직각삼각형 개수 세기 | 중복조합 (1) | 2022.01.06 |
| 둔각삼각형의 개수 (0) | 2022.01.04 |
| 직각삼각형의 개수 (0) | 2022.01.03 |
| 파스칼 삼각형의 조합론적 해석 (0) | 2021.12.11 |