삼차함수는 변곡점에 대한 점대칭함수이다. 변곡점이란 함수 \(f(x)\) 위의 한 점에서 좌우 오목과 볼록이 바뀌는 점이다. 또 이계도 함수 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다, 삼참함수는 변곡점을 갖는 최소의 다항함수이다.
| 삼차함수의 변곡점의 주요성질 |
| 1. 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 변곡점의 좌표를 \( (m, n) \)라 할 때 \( f(m-x)+f(m+x)=2n \)를 만족한다. |
| 2. 변곡점에서 접선의 기울기는 최대 또는 최소이다. |
| 3. 극댓점과 극솟점의 중점은 변곡점이다. |
| 4. 변곡점이 \( (m, n) \)인 삼차함수는 \( f(x)= a(x-m)^3 +b(x-m)+n \)이다. |
| 5. 변곡점을 지나는 직선과 평행한 두 직선과 만나는 \( x, y \)좌표는 등차수열을 이룬다.[그림참조] |
| 6. 변곡접선에 삼차함수에 그은 접선의 개수는 2개이다. |
| 7. 변곡점을 지나가는 직선과 삼차함수로 둘러싸인 두 영역의 넓이는 서로 같다. |
1. 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 변곡점의 좌표를 \( (m, n) \)라 할 때 \( f(m-x)+f(m+x)=2n \)를 만족한다.
[증명] \( f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d \)라 하면 \( f''(x)=6ax+2b=0 \) 에서
\( f''(m)=6am+2b =0 \) 이고 \( f(m)= n \) 이다.
\(f(m-x)+ f(m+x) \)
\(= a\left ( m-x \right )^{3} + b\left ( m-x \right )^{2} + c\left ( m-x \right ) + d \)
\( + a\left ( m+x \right )^{3} + b\left ( m+x \right )^{2} + c\left ( m+x \right ) + d \)
\(= 2am^3 + 6amx^2 + 2bm^2 + 2bx^2 + 2cm + 2d \)
\(= 2 \left ( am^3 + 3amx^2 + bm^2 + bx^2 + cm + d \right ) \)
\(= 2 \left ( am^3 + + bm^2 + bx^2 + cm + d + (3am + b)x^2 \right ) \)
한편, \( f''(m)=6am+2b=2(3am+b)=0 \)에서 \( 3am+b=0 \)이므로
\(= 2f(m) + 0 =2n \)
따라서 함수 \(f(x)\) 는 점 \( (m, n) \)에 대한 점대칭함수이다.
2. 변곡점에서 접선의 기울기는 최대 또는 최소이다.
[증명] \( f'(x)=3ax^2 + 2bx+c \)
\( = 3a\left ( x+\frac{b}{3a} \right )^2 - \frac{b^2}{3a}+c \) 에서
이차함수 \( f'(x)\)는 \(x\)가 \( -\frac{b}{3a} \)에서 최대 또는 최소를 갖는다.
3.극댓점과 극솟점의 중점은 변곡점이다.
변곡점을 지나는 직선 구하는 글 참고
4.변곡점이 \(m, n\)인 삼차함수는 \( f(x)= a(x-m)^3 +b(x-m)+n \)이다.
[증명] \( f''(x)=6(x-m)=0 \)에서 변곡점에서 \(x\) 좌표는 \(m\)이다.
또 f(m)=n을 만족하므로 함수\(f(x)\)의 변곡점의 좌표는 \( (m,n) \)이다.
5. 변곡점을 지나는 직선과 평행한 두 직선과 만나는 \( x, y \)좌표는 등차수열을 이룬다.
[증명] 삼차함수의 점대칭 성질과 같은 맥락이므로 약식 증명을 해본다.
\( f(x)= a(x-\alpha)^2 (x-\beta) \) \( ( 단, \alpha > \beta) \) 라 하자.
\( f'(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)^2 \)
\(= (x-\alpha)(3x-2\beta-\alpha)=0 \)
\(f(x)\)는 \(x=\alpha, \frac{2\beta+\alpha}{3}\)에서 극값을 갖는다.
한편, \( \frac{2\beta+\alpha}{3} \)는 두 근 \( \alpha, \beta \)를 \( 2:1\)로 내분하는 점이다.
\(c=\frac{2b+a}{3} \)
6. 변곡접선에 삼차함수에 그은 접선의 개수는 2개이다.
[증명] 삼차함수 \( f(x) \)의 변곡점의 좌표를 \( (m,n) \)이라 하면
\( f(m)=n, f''(m)=3am+b=0 \)이다.
변곡점에서의 접선의 방정식은
\( y=f'(m)(x-m)+n \)이다.
삼차함수 \( f(x) \)와 변곡접선을 연립하면
\( f(x)=f'(m)(x-m)+f(m) \)
\( ax^3 + bx^2 + cx +d = (3am^2 + 2bm+ c)(x-m)+f(m) \)
여기서 \( b=-3am \)이므로
\(ax^3 -3amx^2 +cx+d =(3am^2 -6am^2 + c)(x-m) \)
\(+am^3 -3am^3 +cm +d \)
정리하면
\(ax^3 -3amx^2 + 3am^2 x-am^3=0\)
\(a (x-m)^3 =0 \)
변곡접선과 삼차함수는삼중근을 갖고 변곡점에서 접하게 된다.
따라서 삼차함수위의 점인 아닌 변곡접선 위의 임의의 한 점에서 삼차함수에 그은 접선이 개수는 2개가 된다.
삼차함수에서 변곡접선은 곡선의 밖에서 그은 점에서 접선의 개수를 따질 때 중요한 기준이 된다. 평가원이나 수능에세도 자주 출제되고 있는 내용이다. 참고로 "꼼수수학 미적분", "꼼수수학 수학II"에서 다양한 예제 문제로 소개했다.
7. 변곡점을 지나가는 직선과 삼차함수로 둘러싸인 두 영역의 넓이는 서로 같다.
[증명] 원점 변곡점으로 하는 삼차함수도 일반성을 잃지 않는다.
원점을 변곡점으로 하는 삼차함수 \( f(x)=ax^3 + bx \)라 하자.
변곡점(원점)을 지나는 직선 \( y=mx \)에 대하여
삼차함수 \(f(x)\)와 \( y=mx \)의 세 교점의 \(x\)좌표를 \( -c, o, c \)라 하면 \(m\)값에 관계없이
\( \int_{-c}^{c}\left ( ax^3 +bx -mx \right )dx =0 \)이 됨을 알 수 있다.
따라서 삼차함수와 변곡점을 지나는 직선에 의해 생기는 두 영역의 넓이는 같다.
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