둔각삼각형의 개수

(1) \( n=2k \) \(  \left( k \geq3\right) \) 일 때,

[그림1]

원의 둘레를 \(2k\)등분한 점을 차례로 \(A_1 , A_2 , \cdots , A_{2k} \)이라 할 때,

점 \(A_1 \)을 포함하는 둔각삼각형을 생각해보자.

[그림1]에서 점선을 기준으로 같은 방향에서 서로 다른 세 점을 선택해야 둔각삼각형이 만들어

진다.  즉, \(A_1 \)을 제외하고 나머지 \(k-1\)개의 점중에서 2개를 선택하는 방법과 같다.

 

(i) \(A_1 \)을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \)  \(2k\)가지

(ii) \(A_1 \)을 포함하는 반원에서 \(A_1 \)을 제외한 \(k-1\)개의 점에서 두 점을 선택하는 방법의 수

    \( \Rightarrow \)   \( _{k-1} C_{2} \) 가지

       

      따라서 \( 2k \cdot  _{k-1} C _{2}\) 가지이다.

 

 

점 \(A_1 \) 을 기준으로 시계방향 또는 반시계방향으로 한 방향에서 나머지 두 점을 잡아 주면 된다. 두 방향으로 하면 중복되는 경우가 발생한다. 예를 들어 와 삼각형  \(A_1 A_2 A_3 \)와  삼각형 \(A_3 A_2 A_1 \)은 같은 삼각형이다.

 

 

(2) \( n=2k-1 \) \(  \left( k \geq3\right) \) 일 때,

 

[그림2]

 

마찬가지로, 점 \(A_1 \)을 포함하는 둔각삼각형을 생각해보자.

[그림2]에서 점선을 기준으로 같은 방향에서 서로 다른 세 점을 선택해야 둔각삼각형이 만들어 진다.

 

(i) \(A_1 \)을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \)  \(2k-1\)가지

(ii) \(A_1 \)을 포함하는 반원에서 \(A_1 \)을 제외한 \(k-1\)개의 점에서 두 점을 선택하는 방법의 수

    \( \Rightarrow \)   \( _{k-1} C_{2} \) 가지

 

따라서 \( \left(2k-1\right) \cdot  _{k-1} C _{2}\) 가지이다.

 

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