포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 3

    포물선의 초점을 지나는 직선

초점 F를 지나는 직선의 AB의 기울기

$$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$$

이다. 

 

[증명]

포물선 $y^2 = 4px $ 에서 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하면 기울기가 $m$ 인 직선의 방정식은 $y=m(x-p)$ 이다.

AF$=a,$ BF$=b$라 하면,  $\textrm{AB} ^2 = \textrm{BC} ^2 + \textrm{AC} ^2 $ 에서

$\textrm{AC} ^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $

$$ \textrm{AC} = 2 \sqrt{ab} $$

$$m=\displaystyle\frac{\textrm{AC}}{\textrm{BC}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$$

 

참고로 직선 AB의 방정식은 

$$y=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b} (x-p)$$

이다.

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

Example 1

포물선 $y^2 =36x$ 의 초점 F를 지나는 직선 $l$ 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A, B 라 하고 두점 A, B에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 H, K라 하자. $ \rm \overline{AH} + \overline{BK}=45$ 일 때, 직선 $l$의 기울기를 구하여라. (단, $\rm \overline{AF}>\overline{BF}$ )

[풀이]

 

$\rm \overline{AF} $ $=a,$  $\rm \overline{BF} $ $=b$ 라 하면

$\rm \overline{AH}+ \overline{BK}=\overline{AF}+\overline{BF}=45$ 에서 $a+b=45$

$ab=9(a+b)$ (이전 글 참고) 에서 $\therefore \; ab=405$

한편, $a-b=\sqrt{(a+b)^2 -4ab}=9 \sqrt{5}\; ( \because a>b)$

 따라서 구하는 기울기는

$$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}=\frac{2\sqrt{405}}{9\sqrt{5}}=2$$

이다.

 

 

Example 2

포물선 $y^2 = 8px \;(p>0)$ 와 직선 $y=4(x-2p)$ 가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A, B라 하면 $\rm \overline{AB}=34$ 이다. 이때 $p$ 의 값을 구하여라.

[풀이]

$\rm \overline{AB}$ $=a,$ $\rm \overline{BF}$ $=b$ 이라 하면

$a+b=34$ 이다. 또 $ab=2p(a+b)$ 에서 $ab=68p$ 이다.

직선의 기울기는 $$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}=4$$에서 $ab=4(a-b)^2 $

한편, $(a-b)^2 =(a+b)^2 -4ab$ 에서

$$\frac{1}{4}ab=34^2 - 4ab \;\; \therefore \; ab=272$$

$$\therefore \; p=\frac{ab}{68}=\frac{272}{68}=4$$