타원과 쌍곡선의 접선의 성질 1

이차곡선의 접선과 등비중항

(1)  타원

$$a^2 = pq$$

$p, a, q$ 는 등비수열을 이룬다.

 

[증명]

점 P의 $x$ 좌표를 $p$, 꼭짓점 A의 $x$ 좌표를 $a$라 하면 점 B의 $x$ 좌표 $q$ 는 점 P에서의 접선의 $x$ 절편이다.

점 P$(p, s)\;(p\neq 0)$에서의 접선의 방정식은

$$\frac{px}{a^2}+\frac{sy}{b^2}=1$$에서 점 B의 $x$ 좌표는 $\displaystyle\frac{a^2}{p}$ 이다.

$$\overline{\textrm {OH}} \times \overline{\textrm{OB}}=p \times \frac{a^2}{p}=a^2 = \overline{\textrm{OA}}^2$$

$$\overline{\textrm{OA}}^2 = \overline{\textrm{OH}} \times \overline{\textrm{OB}}$$

$$\therefore\; a^2 = pq$$

 

(2)  원

$$r^2 = pq$$

[증명]

중심이 원점이고 반지름이 $r$ 인 원 $x^2 + y^2 = r^2 $ 에서 원 위의 점 P의 $x$ 좌표를 $p\;(p\neq 0)$ 라 하자.

점 $\textrm{P} (p, s)$에서의  접선의 방정식은 $$px+sy=r^2$$ 에서 점 B의 $x$ 좌표는 $\displaystyle\frac{r^2}{p}$ 이다.$$\overline{\textrm {OH}} \times \overline{\textrm{OB}}=p \times \frac{r^2}{p}=r^2 = \overline{\textrm{OA}}^2$$ $$\overline{\textrm{OA}}^2 = \overline{\textrm{OH}} \times \overline{\textrm{OB}}$$ $$\therefore\; r^2 = pq$$

$p, r, q$ 는 등비수열을 이룬다.

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

(3)  쌍곡선

$$r^2 = pq$$

[증명]

점 P의 $x$ 좌표를 $p$, 꼭짓점 A의 $x$ 좌표를 $a$라 하면 점 B의 $x$ 좌표 $q$ 는 점 P에서의 접선의 $x$ 절편이다.
점 P$(p, s)\;(p\neq 0)$에서의 접선의 방정식은
$$\frac{px}{a^2}-\frac{sy}{b^2}=1$$에서 점 B의 $x$ 좌표는 $\displaystyle\frac{a^2}{p}$ 이다.
$$\overline{\textrm {OH}} \times \overline{\textrm{OB}}=p \times \frac{a^2}{p}=a^2 = \overline{\textrm{OA}}^2$$ $$\overline{\textrm{OA}}^2 = \overline{\textrm{OH}} \times \overline{\textrm{OB}}$$ $$\therefore\; a^2 = pq$$

$p, a, q$ 는 등비수열을 이룬다.