곡선 밖에서 그은 접선의 방정식

  곡선 밖에서 그은 접선의 방정식

곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 함수 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식에서

접점의 좌표를 $(t, f(t))$ 라 하면

$$\frac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$$

을 이용하여 접점의 좌표를 구한다.

 

[증명] 접점 $(t, f(t))$ 에서의 접선의 기울기는

두 점 $(a, b),$  $(t, f(t))$ 이은 기울기와 같아야 한다.

$$\therefore \;\frac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$$

 

소소한 팁이지만 접선의 방정식을 구한 후 다시 점$(a, b)$를 대입한 방법 보다  신속하게 접점의 좌표를 구할 수 있다. 

 

 

Example 1

점 $(0,-4)$ 에서 곡선 $y=x^3 -2$ 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

[풀이] $\displaystyle \frac{t^3 -2 +4}{t-0}=3t^2,$   $t^3=1$   $\therefore\; t=1$

접접의 좌표는 $(1, -1)$ 접선의 방정식은 $y=3x-4$

 

 

 

 

Example 2

점$(0,2)$ 에서 곡선 $y=x^3 -2x $ 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.

[풀이] $\displaystyle \frac{t^3 -2t -2}{t-0}=3t^2 -2,$   $t^3=-1$   $\therefore\; t=-1$

접접의 좌표는 $(-1, 1)$ 접선의 방정식은 $y=x+2$

 

 

 

 

 

 

Example 3

점 $(0,0)$ 에서 $y=e^x$ 에 그은 접선의 방정식은?

[풀이] $\displaystyle \frac{ e^t -0}{t-0}=e^t ,$  $\therefore\; t=1$

접접의 좌표는 $(1, e)$ 접선의 방정식은 $y=ex$

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 4

점 $(0,2)$ 에서 곡선 $y=x \ln x$ 에 그은 접선의 방정식은?

[풀이] $y'=\ln t +1$에서 

$\displaystyle \frac{ t \ln t+2}{t-0}=\ln t +1 ,$  $\therefore\; t=2$

접접의 좌표는 $(2, 2 \ln 2)$ 접선의 방정식은 $y=(\ln 2 +1)x-2$

 

 

 

 

 

728x90

 

 

 

 

Example 5

점 $(1, 0)$ 에서 곡선   $y=xe^{2x}$ 에 그은 두 접선의 기울기를 $m_1 , m_2$ 라고 할 때, $m_1 , m_2$ 의 값은?

[풀이] 접점의 좌표를 $(t, e^{2t})$ 라 하면 $y'=(2t+1)e^{2t}$에서 

$\displaystyle \frac{te^{2t}}{t-1}=(2t+1)e^{2t}$ 정리하면 $2t^2 -2t-1=0$

두 근을 $\alpha, \beta$ 라 하면 $m_1 m_2 =e^{2\alpha}(2\alpha +1) \cdot e^{2\beta} (2\beta +1)$

$=e^{2(\alpha + \beta)} (4\alpha \beta + 2(\alpha + \beta)+1)$

   한편, $\alpha + \beta = 1,$  $\alpha \beta -\displaystyle\frac{1}{2} $ 에서

$m_1 m_2=e^{2\times1}$ $  \left(4 \times    \left(  -\displaystyle \frac{1}{2} \right)  +2 \times 1+1 \right)$

$\therefore \; m_1 m_2 = e^2$

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 6

점 $(k, 0)$ 에서 곡선   $y=xe^{x}$ 에 접선을 그을 수 없을 때,  $k$ 값의 범위를 구하여라.

[풀이] 접점의 좌표를 $(t, e^{t})$ 라 하면 $y'=(t+1)e^{t}$에서 

$\displaystyle \frac{te^{t}}{t-k}=(t+1)e^{t}$ 정리하면 $t^2 -kt-k=0$

접선을 그을 수 없으려면 접점도 없어야 한다.

$t^2 -kt-k=0$이 실근으르 가지면 안되므로

판별식 $D/4=k^2 + 4k <0$ 에서  $\therefore  -4<k<0$

 

 

 

 

 

 

Example 7

점 $(k, 0)$ 에서 곡선   $y=e^{-x^2 +1}$ 에 두 개의 접선을 그을 수 있을 때,  $k$ 값의 범위를 구하여라.

[풀이] 접점의 좌표를 $(t, e^{-t^2+1})$ 라 하면 $y'=-2te^{-t^2 +1}$에서 

$\displaystyle \frac{te^{-t^2 +1}}{t-k}=-2te^{-t^2 +1}$ 정리하면 $2t^2 -2kt+1=0$

두 개의 접선이 존재하려면 두 개의 접점이 필요하다.

$2t^2 -2kt+1=0$이  서로 다른 두 실근으르 가지면 되므로

판별식 $D/4=k^2 - 2 >0$ 에서  $\therefore  k<-\sqrt{2}$  또는 $k>\sqrt{2}$