한 점에서 접선의 방정식

  한 점에서의 접선의 방정식 구하는 팁

 

곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=ax+b$ 가 $x=t$에서 접할 때

[그림 1]

\begin{align} 

(\textrm{i})\;\;   f'(t)&=a \\

(\textrm{ii}) \;\;  f(t)&=at+b

\end{align}

 

대부분 교재에서는 이런 유형의 문제를 설명할 때 

$x=t$에서 접선의 방정식을 구하고 그 접선이

$y=ax+b$와 같다는 원리로 설명한다.

 

이 방법은 접선을 구하지 않고 공통접선을 구하는 방법을 이용한 것이다. 더 간편하고 신속하게 미정계수들을 구할 수있다.

 

 

Example 1

함수 $y=x \ln x + 4x$ 와 직선 $y=5x+a$ 가 접할 때, 상수 $a$ 의 값은?

[풀이] 접점의 좌표를 $t$ 라 하면 

(i) $\ln t =5=5 ,$   $t=1$

(ii) $t \ln t + 4t = 5t + a $ 에 $t=1$ 을 대입하면 $\therefore \;a=-1$

 

 

 

 

 

Example 2

함수 $y=ae^{x-1}$ 와 직선 $y=4x$ 가 접할 때, 상수 $a$의 값은?

[풀이] 접점의 좌표를 $t$ 라 하면 

(i) $ae^{t-1} =4 $

(ii) $ae^{t-1} = 4t$ 에서 연립하면  $t=1$  $\therefore \;a=4$

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 3

곡선 $y=e^x +1$ 위의 점 $(0, 2)$ 에서 접선이 곡선 $y=\ln x + a$에 접할 때, 상수 $a$ 의 값을 구하여라.

[풀이] 곡선 $y=e^x +1$ 위의 점 $(0, 2)$ 에서 접선의 방정식은  $y=x+2$이다. 

접점의 $x$좌표를 $t$ 라 하면 

(i) $\displaystyle\frac{1}{t}=1,$  $t=1$

(ii) $ \ln t +a= t+2$ 에서 $\therefore \;a=3$

 

 

 

 

 

 

 

Example 4

곡선 $y=e^x$ 위의 점 $(1, e)$ 에서 접선이 곡선 $y=2\sqrt{x-k}$ 에 접할 때, 실수 $k$ 의 값을 구하여라.  [2010년 수능]

[풀이] 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $(1, e)$ 에서 접선의 방정식은  $y=ex$이다. 

접점의 $x$좌표를 $t$ 라 하면 

(i) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{t-k}}=e,$  

(ii) $ 2\sqrt{t-k}=et$ 에서 연립하면 $\therefore \;t=2e^{-2}$

   다시 (i)식에 대입하면  $\therefore \;k=e^{-2}$