다항함수에서 한 점에서 공통접선 | 미분가능

  다항함수에서 한 점에서 공통접선과 미분가능

다항식 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 접하면  ( 공통접선을 갖으면 ) $\Rightarrow $     $f(x)-g(x)=(x-a)^2 Q(x)$

[proof]  $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 하면 $h(a)=0$ 이다.

    또 $f'(a)=g'(a)$ 에서 $h'(a)=0$ 이다.
    따라서  $h(x)$는 $(x-a)^2$ 을 인수로 갖는다.
    $h(x)=(x-a)^2 Q(x)$   
    $\therefore \;\; f(x)-g(x)=(x-a)^2 Q(x)$

 

함수 $f(x)$ 가 $x=a$에서 미분가능하면 $f(x)=\left\{\begin{matrix}  g(x)&(x\geq a)  \\  h(x)& (x<a) \\ \end{matrix}\right.$  ( 단, $g(x), \; h(x)$ 는 다항함수 ) $\Rightarrow $     $g(x)-h(x)=(x-a)^2 Q(x)$

[proof]  $s(x)=g(x)-h(x)$ 라 하면

$g(a)=h(a)$ 에서 $s(a)=0$ 이다.

또 $g'(a)=h'(a)$ 에서 $s'(a)=0$ 이다.
따라서  $s(x)$는 $(x-a)^2$ 을 인수로 갖는다.
    $s(x)=(x-a)^2 Q(x)$   
    $\therefore \;\; g(x)-h(x)=(x-a)^2 Q(x)$

 

 

★★★여기서 흥미로운 점은 미분을 하지않고 공통접선을 구할 수 있다는 점이다. 한 줄 풀이가 가능

 

Example 1

함수 $f(x)=\left\{\begin{matrix}  -x^2+4&  \\  2x^2 +ax +b&  \\ \end{matrix}\right.$ 가 $x=2$ 에서 접할 때, 상수 $a,\;b$의 값을 구하여라.

[풀이] $2x^2 +ax+b -(-x^2 +4)=3(x-2)^2$  $\therefore \;a=-12,\;b=16$

 

 

 

 

 

 

Example 2

함수 $f(x)=\left\{\begin{matrix}  x^2+ax+b& (x \leq -2 ) \\  2x& (x>-2) \\  \end{matrix}\right.$  가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때,  $a+b$의 값은?  (단, $a,\; b$는 상수이다. )

[풀이] $2x^2 +(a-2)x+b =(x+2)^2, $   $a=6,\;b=4$    $\therefore \; a+b=10 $

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

 

Example 3

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$ 가 있다. $$f(x)=\left\{\begin{matrix}  x^3+ax^2+bx& (x \geq 1 ) \\  2x^2+1& (x<1) \\  \end{matrix}\right.$$  $f(x)$ 가 $x=1$에서 미분가능할 때,  $ab$의 값을 구하여라.  (단, $a,\; b$는 상수이다. ) [2006년 6월 평가원]

[풀이] $x^3 +(a-2)x^2+bx-1 =(x-1)^2 (x-1) $ 에서   $a=-1,\;b=3$    $\therefore \; ab=-3 $

 

 

 

 

 

Example 4

함수 $f(x)$ 가 다음과 같다. $$f(x)=\left\{\begin{matrix}  -3x+a& \;\;(x< -1)  \\  x^3 +bx^2 + cx& \;\;\;\;\;\;\;\;\;(-1 \leq x<1) \\ -3x+d& (x\geq1) \\ \end{matrix}\right.$$함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 미분가능하도록 네 실수 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 의 값을 정할 때, $a+b+c+d$ 의 값은? [2009년 10월 교육청]

[풀이]  항등식의 성질 또는 근과 계수의 관계를 이용해주면 된다.

 

(i) $x^3 +bx^2+(c+3)x-a =(x+1)^2 (x-a) $에서  $ a+b=2,$  $2a+c=-2$ 

(ii) $x^3 +bx^2+(c+3)x-d =(x-1)^2 (x-d) $에서  $ b+d=-2,$  $2d-c=-2$   

    $a=2,$  $b=0,$  $c=-6,$  $d=-2$  $\therefore \; a+b+c+d=-6$