삼차함수의 변곡점을 지나는 직선의 성질

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    삼차함수의 변곡점과 근과 계수의 관계

 

삼차함수 $y=ax^3 +bx^2 + cx +d$ 와 직선 $y=mx+n$이 서로 다른 세 점 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 에서 만난다. 삼차함수의 변곡점의 $x$ 좌표를 $k$ 라 할 때,

$$\alpha+\beta+\gamma =3k$$ 가 성립한다.

[증명]  삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이다. (이전 글 참고하라)

삼차함수는 변곡점에 대한 점대칭이다

삼차함수 $y=ax^3 +bx^2 + cx +d$ 와 직선 $y=mx+n$이 서로 다른 세 점 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 에서 만나므로

$ax^3 + bx^2 + (c-m)x+d-n=0$ 의 세 근은  $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 이다.

근과 계수의 관계에 의해서

$$\alpha+\beta+\gamma =-\frac{b}{a}$$ 

한편,  변곡점의 $x$ 좌표  $k=-\displaystyle \frac{b}{3a}$ 이므로 

$$\alpha+\beta+\gamma =-\frac{b}{a}=3k$$ 가 성립한다. 

이 사실로 삼차함수와 만나는 직선과의  세 교점의 $x$ 좌표의 합은 변곡점의 $x$의 좌표의 3배로서 일정하다는 것을 알 수 있다. 직선이 변곡점 통과 유무에 상관없이 항상 성립한다.

 

 

 

Example 1

삼차함수 $f(x)$ 가 $f(x)+f(4-x)=2$ 을 만족할 때,  함수 $f(x)$와 직선  $l$ 은 서로 다른 세 점에서 만난다. 이때 세 교점의 $x$ 좌표의 합을 구하여라.

[해설]  $f(x)+f(4-x)=2$ 에서 $f(x)$ 는 점$(2,1)$ 에 대한 대칭이므로 변곡점의 $x$좌표는 $2$ 이다.

따라서 세 교저의  $x$ 좌표의 합은 $3 \times 2 =6$ 이다.