로피탈정리 활용 안내서

    로피탈정리 활용 안내서

고등학교 극한의 문제에서 만큼 로피탈 정리는 강력한 힘을 발휘한다. 로피탈 정리는 교육과정 外의 내용이다. 그래서 대놓고 사용하기는 눈치가 보인다. 그러나 객관식 문항이나 검산에 도움이 많이 된다. 물론 로피탈 정리를 사용하지 않고 정의대로 문제를 푸는 것을 권하고 로피탈 정리는 풀이의 간편함을 위한 테크닉 정도로 알고 있었으면 한다. 또한 로피탈 정리를 보통의 책에서는 짤막하게 소개만 하기 때문에 제대로 된 사용설명서가 없다. 이 글은 광범위한 로피탈 정리의 활용에 중점을 두기로 한다.  로피탈 정리의 증명은 고교과정 수준을 넘기때문에 생략하기로 한다.

함수 $f(x)$,  $g(x)$ 가  $x=a$를 포함하는 구간에서 미분가능하고,  $f(a)=0$,  $g(a)=0$,   $g'(a)\neq 0$ 일때   $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{g(x)}{f(x)}$ 값이  존재하면 $$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{g(x)}{f(x)}= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{g'(x)}{f'(x)}=\frac{g'(a)}{f'(a)}$$ 가 성립한다. $\frac{\infty}{\infty}$꼴도 적용된다.

 

Example 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{10} + x -3}{x^2 -1}$ 의 값은?

[풀이]  $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{10x^{9} + 2}{2x}=6$

 

 

 

Example 2

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(1)=2$일 때,   $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f \left (1+h+h^2 \right)-f(1)}{h}$의 값을 구하여라.

[풀이]  $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f'(1+h+h^2)(1+2h)}{1}=f'(1)\cdot 1=2$

 

 

 

 

Example 3

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=2,$  $f'(1)=4$일 때,  $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{ x^{3}f(1)-f(x^2 ) }{x^2 -1}$의 값을 구하여라.

[풀이] $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{3x^{2} f(1) - f'(x^{2}) \cdot 2x}{2x} $

          $=\displaystyle\frac{3f(1)-f'(1) \cdot 2}{2}=-1 $  

 

 

 

Example 4

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x+1)-2}{x^{2}+2x}=1$일 때,   $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x^2 ) -f(1)}{x-1} $의 값을 구하여라.

[풀이]  $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x+1)-2}{x^{2}+2x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x+1)}{2x+2} $

      $=\displaystyle\frac{f'(1)}{2}=1$ 에서 $f'(1)=2$

 $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x^2 ) -f(1)}{x-1} =\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f'(x^2 )\cdot 2x}{1}$

      $=2f'(1)=4$

 

 

 

Example 5

최고차항의 계수가  $1$이고  $f(1)=1$ 인 삼차함수 $f(x)$가  $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{(x-2) \left\{f'(x) \right\}^2}=\frac{1}{4}$을 만족시킬 때,  $f(3)$의 값은?   [2018년 수능]

[풀이] 분자 분모 전체를 미분하면 식이 복잡해질 수 있기 때문에 $\displaystyle \frac{0}{0}$꼴이 되는 곳만 선택적으로 로피탈 정리를 써주면 된다. 

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-2)} $ $ \cdot  \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{1}{ \left\{f'(x) \right\}^2}=\frac{1}{4}$

 $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{f'(x)}{1}  \cdot  \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{\left\{f'(2) \right\}^2}=\frac{1}{4} \therefore  f'(2)=4$

문제의 조건에 맞게 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)$라 놓으면 

$f'(2)=2-a=4$에서 $a=-2$

$\therefore f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)\; \therefore  f(3)=10$

 

 

 

Example 6

$\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{1}{h}\int_{1-3h}^{1+2h}\left|  t^2 +2t\right| dt$ 의 값을 구하여라.

[풀이] $\displaystyle\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt=f\left ( g(x) \right )g'(x)-f\left ( h(x) \right )h'(x)$ 

     $f(x)=\left | t^2 +2t \right |$ 라 하면

            $\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{ \displaystyle\int_{1-3h}^{1+2h}f(t)dt                }{h} $

                 $=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{ f(1+2h) \cdot 2 - f(1-3h) \cdot (-3)}{1}$

                 $=5f(1)=15$

 

 

Example 7

$\displaystyle \lim_{ x\to a}\frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}(t^2 + 2t + 2)dt =10$ 을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합은?

[풀이]  $\displaystyle \lim_{ x\to a}\frac{\displaystyle\int_{a}^{x}(t^2 + 2t + 2)dt}{x-a} =\displaystyle \lim_{ x\to a}\frac{x^2 + 2x + 2}{1}=10$ 

         $a^2 +2a-8=0$  두 근의 합은 $-2$이다.

 

 

 

Example 8

$\displaystyle \lim_{ x\to 0}\frac{e^{10x}-1}{e^{x}+e^{2x}+e^{3x}+\cdots e^{10x}-10}$ 의 값은?

[풀이]  $\displaystyle \lim_{ x\to 0}\frac{10e^{10x}}{e^{x}+2e^{2x}+3e^{3x}+\cdots 10e^{10x}}$

        $=\displaystyle \lim_{ x\to 0}\frac{10}{1+2+3+\cdots+10}=\frac{10}{\displaystyle\frac{10 \cdot 11}{2}}=\frac{2}{11}$

 

 

 

 

Example 9

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sec x - \tan x}{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}$ 의 값은?

[풀이]  로피탈 정리를 한 후 다시 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 꼴이 되면 다시 로피탈정리를 사용해준다.

         $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sec x \tan x - \sec ^{2} x}{1}=\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin x - 1}{\cos ^{2} x}$

         $=\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x }{2\cos x (-\sin x)}=-\frac{1}{2}$

 

 

 

Example 10

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^{2}x }{(2x-\pi)^2}$ 의 값은?

[풀이]  $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^{2}x }{(2x-\pi)^2}=\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-2\cos x \sin x }{2(2x-\pi)\cdot 2} $   

        $=$ $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x }{2x-\pi}$ $\cdot \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x }{2}$   ($\frac{0}{0}$꼴 만 타겟 로피탈 정리를 써준다.)

        $=$ $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x }{2}$ $ \left (\displaystyle \frac{-1 }{2} \right )=\displaystyle\frac{1 }{4}$

 

 

 

Example 11

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\cos (\pi x)\sin (x^3 -1)}{x^3 -1}$ 의 값을 구하여라.

[풀이]  준식 $=$  $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\sin (x^3 -1)}{x^3 -1}$ $\cdot\displaystyle \lim_{x \to 1}\cos \pi x$

             $=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\cos (x^2 - 1)\cdot (2x)}{3x^2} \cdot(-1)=-\frac{2}{3}$

 

 

 

Example 12

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\ln (1+\ln x)}{x-1} $의 값을  구하여라.

[풀이]  준식$=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{  \displaystyle\frac{1}{x}        }{1+\ln x} =1$

 

 

 

 

Example 13

함수 $f(x)=e^x \cos (x^2 )$ 에 대하여  $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{  f(\tan 3x )-1      }{x} $의 값을 구하여라.

[풀이] 준식$=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{  f'(\tan 3x ) \cdot 3 \sec^{2} 3x }{1} =3f'(0)$ 

               한편, $f'(x)=e^x \cos (x^2 ) - e^x \cdot 2x \cos(x^2 )$ 에서 $\therefore \; 3f'(0)=3$

 

 

Example 14

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \cos 3x \right )^{\frac{2}{x^2}}$ 의 값은?

[풀이]  $\blacksquare ^{\triangle } =e^{\triangle \ln \blacksquare } $

        $\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \cos 3x \right )^{\frac{2}{x^2}}=\displaystyle \lim_{ x\to 0}e^{\frac{2}{x^2} \ln (\cos 3x)}=\displaystyle \lim_{ x\to 0}e^{\frac{2 \cdot -\frac{3\sin 3x}{\cos 3x}}{2x} }$

         $=\displaystyle \lim_{ x\to 0}e^{      \frac{-3\tan 3x}{x}}=e^{-9}$

 

 

 

Example 15

$\displaystyle \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{(2x-\pi)^3}\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\cos^{2} t \;dt$의 값은?

[풀이] 준식$=\displaystyle \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^{2}x}{6(2x-\pi)^2}= \displaystyle \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2\cos x(-\sin x)}{24(2x-\pi)}$

     $=\displaystyle \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}}\left (- \frac{\sin x}{12} \right ) \cdot\displaystyle \lim_{ x\to \frac{\pi}{2} }\frac{\cos x}{2x-\pi}$

     $=-\displaystyle\frac{1}{12} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left ( \frac{-\sin x}{2} \right )=\frac{1}{24}$

부정형 $\frac{0}{0}$이 나오지 않을 때까지 외과적 핀셋 로피탈정리를 사용해주면 번잡한 식을 많이 줄여줄 수 있다.