수열의 극한 | 적분공식 활용

   적분 공식을 활용한 수열의 극한 팁

수열의 합을 구할 때, 적분공식을 살짝 사용할 수 있습니다.

 

\begin{align}

\sum_{k=1}^{n}k&=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^2+\cdots \\

\sum_{k=1}^{n}k^{2}&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1}{3}n^3+\cdots \\

  \sum_{k=1}^{n}k^{3}&= \left (\frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}n^4+\cdots 
\end{align} 적분공식과 유사성을 찾을 수 있습니다.

 

$$\displaystyle\int (x^m + \cdots ) dx = \frac{1}{m+1} x^{m+1}+\cdots$$

$$ \sum_{k=1}^{n} k^{m}=\frac{1}{m+1}n^{m+1}+\cdots  $$

$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한문제는 "최고차 항의 비" 만 필요합니다. 따라서 이런 유형의 문제에서 굳이 수열의 합을 구할 필요가 없기 때문에 꽤나 신속한 결과를 구할 수 있습니다.

 

Example 1

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot \left\{ 1+3+5+\cdots +(2n-1)\right\}}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdot +n(n+1)}$ 의 값은?

[풀이] \begin{align}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1) } &=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+ \cdots)}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 +\cdots )} \\

&=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n^3 + \cdots}{\displaystyle\frac{1}{3}n^2 +\cdots}=\frac{1}{3} 

\end{align}

 

 

 

Example 2

$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2}{2\cdot1+4\cdot3+6\cdot5+\cdots+2n(n+1)} $

[풀이] 정리해주면
          $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{n \cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(4k^2 + \cdots)}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (4k^2 +\cdots )}=1$

 

 

 

Example 3

$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)} $

[풀이] 결국 문제속에서 답이 보이게 됩니다.

$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {\color{Red} n }^2}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+{\color{Red} n }({\color{Red} n }+1)} =1$