극한의 부정형 통일 0/0꼴

    극한의 부정형을 하나로

극한값을 계산할 때 자주 나오는 부정형이 있다. 부정형이란 값을 확정할 수 없는 꼴을 말한다.

대표적인 부정형은 다음과 같다.

$$\frac{0}{0}, \;  \frac{\infty}{\infty}, \; 0\times \infty, \;  \infty-\infty ,\;  1^{\infty}, \; 0^{0}, \; {\infty}^{0}$$

     위의 일곱가지 유형을 모두 $$\frac{0}{0}$$

     꼴로 표현할 수 있다.

 

 1   $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ 꼴

$$\frac{\infty}{\infty}=\frac{\displaystyle\frac{1}{\infty}}{\displaystyle\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}$$

 2   $ 0\times \infty $꼴

$$  0\times \infty =  0\times \frac{1}{0} = \frac{0}{0} $$

 3    $ \infty-\infty $ 꼴

\begin{align}

{\infty}_{1}-{\infty}_{2}&=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\infty }_{1}}-\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\infty }_{2}}  =\frac{\displaystyle\frac{1}{\infty }_{2} - \frac{1}{{\infty }_{1}}}{\displaystyle\frac{1}{\infty }_{1} \cdot \frac{1}{{\infty }_{2}}} \\ &=\frac{0-0}{0 \cdot 0}=\frac{0}{0}

\end{align}

 

 

      지수의 꼴은 

$$a^{b}=e^{b\ln a}$$

     을 이용해서 로그 꼴로 고쳐주면 된다.

 4     $  1^{\infty}$ 꼴

$$1^{\infty}=e^{\infty \times \ln 1}=e^{\infty \times 0 }=e^{\frac{0}{0}}$$

 5    $0^0$ 꼴

$$0^{0}=e^{0 \times \ln (0+)}=e^{0 \times(-\infty) }=e^{-\frac{0}{0}}$$

 6    ${\infty}^0$ 꼴

$${{\infty}_{1}}^{0}=e^{0 \times \ln {\infty}_{1}}=e^{0 \times {\infty}_{2} }=e^{\frac{0}{0}} $$

이는 $\frac{\infty}{\infty}$꼴의 부정형에서 무시무시한 힘을 발휘하는 로피탈정리를 광범위하게 쓸 수 있게 해준다.

 

Example 1

$ \displaystyle \lim_{ x\to 0+} {x}^{x} $ 의 극한값을 구하여라.

[해설]

\begin{align}

 \displaystyle \lim_{ x\to 0+}x^x&=\displaystyle \lim_{ x\to 0+}e^{x \ln x}=\displaystyle \lim_{ x\to 0+}e^{   \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}} \\

&=\displaystyle \lim_{ x\to 0+}e^{   \frac{     \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^0 =1 

\end{align}