함수의 극한에서 미정계수 결정

    함수의 극한에서 미정계수 결정

내신에서 자주 나오는 극한 미정계수 문제입니다.  간단하게 구할 수 있는 간단하고 강력한 테크닉입니다.

$$ \displaystyle \lim_{ x\to \alpha}\frac{x^2 + mx + n}{x-\alpha}=p $$가 성립 할 때, $x^2 +mx + n =0$의 두 근은 $\alpha$,  $\alpha - p$ 이다.

[증명]  $\displaystyle \lim_{ x\to \alpha}\frac{x^2 + mx + n}{x-\alpha}$ 수렴하고 분모$\to 0$이므로 분자$\to 0$이어야 한다. 즉, 방정식 $x^2+mx+n=0$ 의 한 근은 $\alpha$가 된다. 다른 한 근을 $\beta$ 라 하면  $ x^2+mx+n=(x-\alpha)(x-\beta)$로 놓을 수 있다.

\begin{align} 

\displaystyle \lim_{ x\to \alpha}\frac{x^2 + mx + n}{x-\alpha}&=\displaystyle \lim_{ x\to \alpha}\frac{(x-\alpha)(x-\beta)}{x-\alpha} \\

&=\alpha - \beta=p 
\end{align}

$$ \therefore \beta = \alpha - p $$

따라서 $x^2 + mx + n =0$ 의 두 근읜 $\alpha , \;\;\; \alpha - p$ 이다.

 

Example 1

$\displaystyle \lim_{ x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x-1}=3$일 때,  상수 $a, \; b$의 곱 $ab$의 값은?

[solve] $x^2 + ax + b=0$ 의 두 근이 $1, \; 1-3=-2$ 이므로

$(x-1)(x+2)=x^2 +x -2$에서 $a=1, \; b=-2$ $\therefore  ab=-2$

 

Example 2

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\left\{\begin{matrix}  x^2 +2ax +b&(x\neq 1)  \\  2&  (x=1)\\ \end{matrix}\right.$ 가 $x=1$ 에서 연속일 때, 실수 $a, \;b$ 의 값을 정하여라.

[solve] 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이므로  $ \displaystyle \lim_{ x\to 1}\frac{x^2 + 2ax + b}{x-1}=2$ 를 만족한다.

$x^2 +2ax+b=(x-1)(x+1)=x^2 -1$   $\therefore\; a=0,$ $b=-1$

 

Example 2

$ \displaystyle \lim_{ x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x^3 -1}=3$ 일때, 상수 $a,$ $b$의 값을 정할 때, $a+b$ 의 값은?

[solve] $ \displaystyle \lim_{ x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x -1} \cdot \frac{1}{x^2 +x+1}=3$

$\therefore  \displaystyle \lim_{ x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x -1} =9$ 

$x^2 + ax + b=(x-1)(x+8)=x^2 +7x -8$   

$\therefore \;a=7,$  $b=-8$