무한-무한 꼴의 극한값 계산

$ \infty-\infty $ 꼴의 극한값에 대한 흥미로운 주제에 대해 이야기 해보기로 하자.

우선 고등학교 교유과정에서 가장 많이 출제되는 꼴은 아래와 같은 형태이다.

$$\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\left ( \sqrt{x^2 +bx +c}-x      \right )= \frac{b}{2}$$

[증명]\begin{align} 

 \displaystyle \lim_{ x\to \infty}\left ( \sqrt{x^2 +bx +c}-x      \right )&= \displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{bx+c}{ \sqrt{x^2 +bx +c}+x  } \\ 

&= \displaystyle \lim_{ x\to \infty} \frac{b+\displaystyle\frac{c}{x}}{ \sqrt{1 +\displaystyle\frac{b}{x} +\displaystyle\frac{c}{x^2}}+1      } \\

&= \frac{b+0}{\sqrt{1+0+0}+1} \\

&=\frac{b}{2}
\end{align}

이런 꼴의 극한 값을 구하기 위해서 필요한 것은 \(b\)의 값만 알면된다. 

$$ \displaystyle \lim_{ x\to \infty}\left ( \sqrt{{\color{Red} x^2} +bx +c}-{\color{Red} x}      \right ) $$

주의할 점은  루트안의 $x^2$의 계수와 $x$의 계수는 같아야 한다.

Example 1

\(   \displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2+8x+9}-x}{\sqrt{x^2+4x+5}-x} \)의 값은?

[해설] \(\frac{ \displaystyle\frac{8}{2}  }{\displaystyle\frac{4}{2} }=2  \)

 

Example 2

\(  \displaystyle \lim_{ x\to \infty}  \sqrt{x}               \left ( \sqrt{ x+4}-\sqrt{x}      \right )  \)의 값은?

[해설] 먼저 기본 꼴로 고쳐준다.

\begin{align}

 &=\displaystyle \lim_{ x\to \infty} \sqrt{x}  \left (  \sqrt{x+4}    -\sqrt{x}          \right ) \\

&=\displaystyle \lim_{ x\to \infty}  \left (  \sqrt{x^2+4x}    -x         \right ) \\ 

&=\frac{4}{2} =2 &&

\end{align}

Example 3

\(     \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{ \sqrt{x+3}-  \sqrt{x}    }{\sqrt{x+1}-  \sqrt{x} } \) 의 값은?

[해설] 분자 분모에 \(\sqrt{x} \)를 곱해서 기본 꼴로 고쳐준다.

\begin{align}  

                 &\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{  \sqrt{x}   \left ( \sqrt{x+3}-  \sqrt{x}  \right )   }{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x+1}-  \sqrt{x} \right ) } \\ &=  \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{     \sqrt{x^2+3x}-  x    }{ \sqrt{x^2+x}-  x  } \\ &=\frac{     \displaystyle\frac{3}{2}}{          \displaystyle\frac{1}{2}}=3 

\end{align}

 

 

Example 4

\(  \displaystyle \lim_{ x\to \infty} \left (  \sqrt{4x^2 +8x +4 }   -2x   \right )  \)의 값은?

[해설]기본꼴로 고쳐준다.

$$ \displaystyle \lim_{ x\to \infty} 2\left (  \sqrt{x^2 +2x +1 }   -x   \right )=2 \times \frac{2}{2}=2 $$

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Example 5

\( \displaystyle \lim_{ x\to \infty} \left (  \sqrt{x^2 +6x +3 }   -x-2   \right ) \) 값은?

[해설] 상수는 극한식에 빼주어도 상관없다. 상수까지 함께 유리화를 하면 문제가 번잡해진다. 

\begin{align} 

&\displaystyle \lim_{ x\to \infty} \left (  \sqrt{x^2 +6x +3 }   -x-2   \right )\\ &= \displaystyle \lim_{ x\to \infty} \left (  \sqrt{x^2 +6x +3 }   -x   \right )-2 \\  &=\frac{6}{2}-2=1

\end{align}