x+a를 포함한 식의 적분법

    x+a 을 포함한 식에서 신속 적분법

일차식 $x+a$를 포함하는 식을 적분할 때, 다항식을 $x+a$로 정리해주면 편리한 경우가 많다.

$$\int (x+a)^n dx=\frac{1}{n+1}(x+a)^{n+1}+C$$

예제로서 보기로 하자.

Example 1

$\displaystyle\int (x+1)(x+2)dx$ 을 구하면?

[solve]  $x+1$을 기준으로 정하면 나머지식을 $x+1$로 정래해 주면 된다.

\begin{flalign}

&\displaystyle \int (x+1) \left \{ (x+1)+1 \right \} dx \\

&=\displaystyle\int  \left \{ (x+1)^{2}+(x+1) \right \} dx \\

&=\frac{1}{3}(x+1)^{3} +\frac{1}{2}(x+1)^{2} + C &&

\end{flalign}

Example2

$\displaystyle\int (x+1)(x+2)(x+3)dx$ 을 구하면?

[solve] 전개할 필요없이 적당한 일차식을 기준으로 정리해주면 된다.

\begin{flalign}

&\displaystyle \int (x+1) \left (x^2 + 5x +6 \right ) dx \\

&=\displaystyle\int  (x+1)\left \{ (x+1)^{2}+3(x+1)+2 \right \} dx \\

&=\displaystyle\int  \left \{ (x+1)^{3}+3(x+1)^{2}+2(x+1) \right \} dx \\

&=\frac{1}{4}(x+1)^{4} +(x+1)^{2} +(x+1) + C &&

\end{flalign}

 

 

Example 3

$\int \sqrt{x+1}\; (x+3)dx$ 를 구하여라.

[solve] 치환적분을 할필요가 없다.

\begin{flalign}

&\displaystyle \int \sqrt{x+1} \left (x+3  \right ) dx \\

&=\displaystyle\int  (x+1)^{\frac{1}{2}}\left \{ (x+1)+2 \right \} dx \\

&=\displaystyle\int  \left \{ (x+1)^{\frac{3}{2}}+2(x+1)^{\frac{1}{2}} \right \} dx \\

&=\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} +\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} +(x+1) + C &&

\end{flalign}

 

Example 4

$\int \sqrt[3] {x+1}\; (2x+3)dx$ 를 구하여라.

[solve] 

\begin{flalign}

&\displaystyle \int \sqrt [3]{x+1} \left (2x+3  \right ) dx \\

&=\displaystyle \int (x+1)^{\frac{1}{3}} \left \{  2(x+1)+1 \right \} dx \\

&=\displaystyle \int \left \{  2(x+1)^{\frac{4}{3}}+(x+1)^{\frac{1}{3}} \right \} dx \\

&=\frac{6}{7}(x+1)^{\frac{7}{3}} +\frac{3}{4}(x+1)^{\frac{4}{3}}  + C &&

\end{flalign}