정적분의 활용 | 삼각함수 넓이의 이등분

곡선 $y=a \cos x$와 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 곡선 $y=b \sin x$ 가 이등분하기 위해서는 $a:b=4:3$ 을 만족한다.(단, $a>0,\; b>0 )$

 

[증명]

곡선 $y=a \cos x$와 $x$축, $y=b \sin x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{1}$, 곡선 $y=b \sin x$와 $y=a \cos x$, $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{2}$라 하자. $S_{1}=S_{2}$ 성립함을 보이면 된다.

$(i) a  \cos t = b \sin t $이라 하면  $\tan t = \displaystyle\frac{a}{b}$

\begin{flalign}

(ii)  S_{1}&=\displaystyle \int_{0}^{t}(a \cos x - b \sin x ) dx) \\

&=\left [ a \sin x + b \cos x \right ]_{0} ^{t} \\

&=a sin t + b \cos t - b &&

\end{flalign}

$(i), (ii)$에서 $2(a\sin t + b \cos t -b)=a$   

$\therefore 2a \sin t + 2b \cos t = a+ 2b$

   한편,  $\sin t = \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$,  $\cos t = \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

    $ 2a\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} +2b\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=a+2b$

    $2a^2 + 2b^2 =(a+2b)\sqrt{a^2 + b^2}$

    $2\sqrt{a^2 +b^2}$ =(a+2b)$

양변을 제곱해서 정리하면

   $3a=4b$    $\therefore \ a:b = 4:3$

 

Example 1

정의역이 구간 $\left ( 0, \displaystyle \frac{\pi}{2} \right )$인 함수 $y=\cos x$ 와 $x$ 축 및 $y$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $y=a\sin x \; (a>0)$가 이등분할 때, 상수 $a$ 의 값은?

[해설] $\displaystyle \frac{3}{4}$