적분의 활용 | 잘린 원기둥의 부피 | 반구에 채운 물의 부피

 

 적분의 활용 | 잘린 원기둥의 부피 | 반구에 채운 물의 부피

$$V=\frac{2}{3} r^3 \tan \theta$$

원기둥을 비스듬히 잘랐을 때 생기는 부분 중 작은 쪽은 부피를 구해보자. 대부분의 교과서와 참고서에서는 단면을 직각삼각형을 만들어서 적분으로  구한다. 단면을 직각삼각형이 아닌 여러 가지 형태로도 부피를 구할 수 있다. 이 번 포스팅에서는 직각 사각형을 만들어서 부피를 구하기로 해보자.

[증명] 원기둥의 밑면의 중심을 $O$, 밑면의 지름을 $x$축, $y$축으로 잡는다. $x$축에 수직으로 자른 단면 직사각형 $PQRS$의 넓이를 $S(x)$라 하면

$$ \overline{MN}=\overline{ON}\tan \theta =x \tan \theta, \;\; \overline {PS}=2y $$

   한편, $x^2 + y^2 = r^2 $ 이므로

$$S(x)=2xy \tan \theta = 2x \sqrt{r^2 - x^2}\tan \theta $$
   구하려는 부피를 $V$라 하면
$$V=\tan \theta \int_{0}^{r}2x \sqrt{r^2 - x^2}dx $$

   $\sqrt{r^2 - x^2}=t$로 치환하면

$$\therefore V=\tan \theta \int_{0}^{r}2t^2 dt=\frac{2}{3}r^3 \tan \theta $$

¶ 반구 모양의 그릇에 물을 채운 후 비스듬히 기울였을 때 남아있는 물의 양을 구해보자. 

$$V=\frac{\pi}{3}h^2 (3r-h)$$

증명은 각자의 몫입니다. 댓글 주시면 올려드리겠습니다.