적분의 활용 | 넓이가 같은 두 도형 끼워 맞추기

직선과  곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 같을 때, 
공통인 영역을 끼워 넣어서 한 쪽을 삼각형 또는 사각형 같은 기본도형이  포함되게  나누어 준다.

넓이가 같은 두 도형

적분 계산 과정을 많이 줄여주기 때문에 연습해서 두면 유용하다. 

Example 1

오른쪽 그림과 같이 곡선 $y=-x^{2}+3x$ 와 두 직선 $y=ax$, $x=3$ 로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같을 때,  상수 의 값을 구하여라.

[해설] 두 도형의 사이의 하얀색 부분의 넓이가 같다. 끼워 맞추어 주면 아래와 같게 된다.

좌우의 도형의 넓이가 같다

         $ \displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 3a = \displaystyle\frac{\left| -1\right| (3-0)^{3}}{6}$     $\therefore \; a=1$

 

 

 

Example 2

다음 그림과 같이 삼차함수 $f(x)=-(x+1)^{3}+8$ 의 그래프가 $x$축과 만나는 점을 $A$라 하고, 점 $A$ 를 지나고 $x$축에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 또 곡선 $y=f(x)$ 와 $y$축 및 직선 $y=k \; (0<k<7)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{1}$이라 하고, 곡선 $y=f(x)$와 직선 $l$ 및 직선 $y=k$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{2}$라 하자. 이 때, $S_{1}=S_{2}$가 되도록 하는 상수 $k$ 에 대하여 의 $4k$값을 구하시오.

[해설]

 

$$1\times k = \int_{0}^{1}\left (  -(x+1)^3 +8        \right )dx$$

$$k=\frac{17}{4} \;\; \therefore 4k=17 $$

 

 

 

 

Example 3

오른쪽 그림과 같이 곡선 $y=\sin \pi x$  와 $y=k$ 가 있다. 곡선 $y=\sin \pi x$  와 직선 $y=k$,  $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{1}$  , 곡선  $y=\sin \pi x$ 와 직선 $y=k$  로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_{2}$ 이라 하자.  $S_{2}=2S_{1}$ 일 때, 상수  $k$ 의 값은?

[해설]

$$ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin \pi x dx = \frac{1}{2}k \;\; \therefore k= \frac{1}{\pi}$$

 

 

Example 4

그림과 같이 곡선 $y=x \sin x$ $\left (    0 \leq x \leq \displaystyle\frac{\pi}{6} \right  )$ 에 대하여 이 곡선과 $x$ 축, 직선 $x=k$ 로 둘러싸인 영역을 $A$, 이 곡선과 직선 $x=k$ , 직선 $y=\displaystyle\frac{\pi}{2}$로 둘러싸인 영역을 $B$ 라 하자. $A$ 의 넓이와 $B$ 의 넓이가 같을 때, 상수 $k$ 의 값은?

[해설]

$$ \left ( \frac{\pi}{2}-k \right ) \cdot \frac{\pi}{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x \sin xdx \;\; \therefore k=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi}$$