등차수열을 이용해서 삼차함수 구하기

이전 포스팅에서 등차수열 $\left\{ a_{n}\right\}$에서 일반항 $a_{n}$은 

$$ a_{l}=p,  \; a_{m}=q \Rightarrow  a_{n}=\frac{p-q}{l-m}(x-l)+p$$ 와 같이 구할 수 있다. 이것을 활용하면 삼차다항식을 구할 수 있다.

삼차항의 계수가 $a$인 함수$f(x)$ 가  $f(\alpha)=p, f(\beta)=q$ 이면  $$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(ax+b) + \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta - \alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$$

[증명] $f(x)$는 삼차식이고 $f(\alpha)=p$,  $f(\beta)=q$을 만족하므로 자명하다.

Example 1

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=1$, $f(2)=3$, $f(3)=5$ 일 때, $f(4)$ 의 값은?

[solve] 1,3,5의 일반항은 $2x-1$이므로 

   $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+2x-1$가 된다. 따라서 $f(4)=13$

 

Example 2

삼차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=1$, $f(2)=3$, $f(3)=7$ 일 때, $f(0)$ 의 값을 구하면?

[solve] $$f(x)=(x-1)(x-2)(x+b) + \frac{3-1}{2 - 1}(x-1)+1$$

라 놓으면  $f(3)=6$ 에서 $b=-2$

$$f(x)=(x-1)(x-2)^{2} + (x-1)+1 \; \: \therefore f(0)=-5$$

 

Example 3

삼차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=39$ 일 때, $f(3)$ 의 값을 구하면?

[solve] $$f(x)=(x-1)(x-2)(x+b) + \frac{5-3}{2 - 1}(x-1)+3$$

에서  $f(4)=6b+33=39 \; \; \therefore b=1 $

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x+b) +2(x-1)+3 \; \; \therefore f(3)=15$$

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