삼차함수의 두 극점을 지나는 직선 | 사차함수의 세 극점을 지나는 곡선

다항함수 \( f(x) \)의 극점을 지나는 곡선의 식을 구해보자.

다항식 \( f(x) \)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지를 \( g(x)\)라 할 때,     \( g(x)\)는 \(f(x)\)의 극점을 지나는 곡선이다.

[증명] 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(\alpha)=0,  f(\alpha)=\beta\)라 하자.

         단, 다항함수 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 극점 \( \beta\)를 갖는다. 

          다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눌 때 몫을 \(Q(x)\), 

         나머지를 \(g(x)\)라 하면

         \(f(x)=f'(x)Q(x)+g(x) \)로 나타낼 수 있다.

         \(g(x)= f(x)-f'(x)Q(x)\)에서

           \(g(\alpha)=f(\alpha)-f'(\alpha)Q(\alpha)=\beta \)

        한편 \( f(\alpha)=g(\alpha)=\beta\) 이므로 

        다항함수 \(g(x)\)도 \(f(x)\)의 극점\( (\alpha, \beta)\)를 지난다.

        엄밀하게 말하면, 함수 \(g(x)\)는 \(f(x)\)의

          \(f'(x)=0\)을 만족하는 점을 지난다.

예제 1

삼차함수  \(y=x^3 -3x^2 -x + 3 \) 의 극대와 극소를 지나는    직선의 방정식을 구하여라.

[해설] \( f(x)=x^3 -3x^2 -x +3 \)이라 하면 

     \(f'(x)=3x^2 -6x -1 \) 이다.

     다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나누었을 때,

     몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(mx+n\)라 하면

      \(x^3 -3x^2 -x +3\)

         \(= (3x^2 -6x-1)Q(x)+mx+n\)

     직접 나누어 보면

      \( x^3 -3x^2 -x + 3 \)

         \(= (3x^2 -6x -1)( \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} )- \frac{8}{3}x+\frac{8}{3} \)

      따라서 두 극점을 지나는 직선의 방정식은

        \(y=-\frac{8}{3}x+\frac{8}{3} \) 이다.

         

예제 2

사차함수 \( y=-x^4 + 3x^2 -x +1 \)의 세 극점을 지나는    이차함수를 구하여라.

[해설] \(f(x)=-x^4 + 3x^2 - x + 1 \)이라 하면

         \(f'(x)=-4x^3 + 6x-1 \)에서

        다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나누어 주면

           \(-x^4 + 3x^2 -x +1\)

               \(=(-4x^3 + 6x-1)\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}x+1 \)

          따라서 세 극점을 지나는 이차함수는

           \( y=\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}x+1 \)가 된다.

 

 

 

조금 더 나가보자.

이를 더욱 응용하면 사차함수에서 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

다항함수 \(f(x)\)를 \(f''(x)\)로 나눈 나머지를 \(g(x)\)라 하면    두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은      \(y=g(x)\)가 된다.

[증명] 사차함수 \(f(x)\)의 한 변곡점을 \( (\alpha, \beta)\)라 하면

      \(f''(\alpha)=0\), \(f(\alpha)=\beta\)이다.

   다항식 \(f(x)\)를 \(f''(x)\)로 나눌 때

   몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(g(x)\)라 하면

        \(f(x)=f''(x)Q(x)+g(x) \)

   여기서 \(f(\alpha)=g(\alpha)=\beta \) 이므로

   일차함수 \(g(x)\)는 \(f(x)\)의 변곡점을 지난다.

 

   엄밀하게는 직선 \(g(x)\)는 변곡점이 아닌 \(f''(x)=0\)을 

   만족하는 점을 지난다.

 

예제3

사차함수 \(y=x^4 -2x^2 +x +1 \)의 두 변곡점을 지나는   직선의 방정식을 구하여라.

[증명] 다항식 \(f(x)=x^4 -2x^2 +x +1 \)라 하면

     \(f''(x)=12x^2 -4 \)가 된다.

     \(f(x)\)를 \(f''(x)\)로 나눈 나머지를 구하면

       \(x^4 -2x^2 +x +1 \)

         \( =(12x^2 -4) \left ( \frac{1}{12}x^2-\frac{5}{36}x \right ) +x+\frac{4}{9}x\) 

      따라서 두 변곡점을 지나는 직서의 방정식은

        \(y=x+\frac{4}{9}\)이다.