역함수 미분 사용 설명서

역함수 미분법 사용 설명서

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ \displaystyle\frac{dx}{dy}}$$

대부분 책에 소개되어있지만 대부분책에 증명은 나와있지 않다. 마치 역함수의 미분법을 역수 관계로 착각할 소지가 다분히 있어 보인다.(엄밀하게 말해서는 역수관계는 아니지만 고등학교 과정에서는 역수관계로 알고 있어도 무방하다.)
[증명] 함수 $f(x)$ 가 미분가능하고 그 역함수를 $g(x)$ 라 하자.

\begin{align}

\frac{dy}{dx}&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{k}{h} \\
&=\displaystyle \lim_{ k\to 0}\frac{1}{\displaystyle\frac{h}{k}} \left ( \because h\to 0 \Leftrightarrow k \to 0 \right ) \\

&=\displaystyle \lim_{ k\to 0}\frac{1}{\displaystyle\frac{g(y+k)-g(y)} {k}} \\

&=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}


\end{align}
즉,
$$f'(x)=\frac{1}{g'(y)}$$
또는

$$g'(y)=\frac{1}{f'(x)}$$

로 바꾸어 표현할 수 있다. 역함수의 기본성질은 이 글을 참고하기 바란다.

Example 1

$f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하고 $f(x)=\sin x$ $\left ( \displaystyle\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \right )$ 일 때, $g'(x)$ 의 값은?

[해설] $$g'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\cos x}$$ 한편, $\sin ^2 x + \cos ^2 x =1$ 이고 $\cos x >0$ 에서
$$=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$
$$\therefore \;\;\; g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Example 2

$f(x)=\tan x$ $\left ( \displaystyle\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \right )$ 일 때, $(f^{-1})'(x)$ 의 값은?

[해설]
\begin{align}

(f^{-1})'(y)&=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\sec^2 x} \\

&=\frac{1}{1+\tan ^2 x}=\frac{1}{1+\left \{ f(x) \right \}^2} \\

&=\frac{1}{1+y^2}

\end{align} $$ \therefore \;\;\; (f^{-1})'(x)=\frac{1}{1+x^2} $$

 

 

 

Example 3

$f(x)=\displaystyle\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$의 역함수를  $g(x)$ 라 할 때  $g'(x)$ 의 값은?

[해설] $$g'(y)=\displaystyle \frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\displaystyle\frac{e^{x} +e^{-x}}{2}}  \tag{1}$$

한편, $y=\displaystyle\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$에서 $e^{x}=t \;(t>0)$ 이라하면

$$2y=t-\frac{1}{t} \;\;\; t^2 -2t -1 =0 $$

$$ \therefore \; t=y+\sqrt{y^2 +1}\; ( \because t>0)$$

$$ e^x =y+\sqrt{y^2 +1}, \; e^{-x} =\sqrt{y^2 +1}-y$$ 

다시  (1) 식으로 돌아가서,

$$g'(y)=\frac{1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{y^2 +1}}{2}} =\frac{1}{\sqrt{y^{2} + 1}} $$

문자를 $x$로 바꾸어 주면

$$\therefore \; g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} $$

 

 

Example 4

$f(x)=\sec x$의 역함수를  $g(x)$ 라 할 때  $g'(x)$ 의 값은?

[해설] $y=\sec x = \displaystyle \frac{1}{\cos x}$ 에서 $ \cos x = \displaystyle\frac{1}{y}, \;\; \sin x = \sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{y^2}} $ 이다.
\begin{align}
g'(y)&=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\sec x \tan x} = \frac{\cos ^{2} x}{\sin x} \\
&=\frac{\displaystyle\frac{1}{y^2}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{y^2}}} =y \sqrt{y^2 -1}
\end{align}

문자를 $x$로 바꾸어 주면 $$ \therefore \;\;\; g'(x)=x \sqrt{x^2 -1} $$