톡특하게 음함수의 미분법

편미분을 이용한 음함수의 미분법

교과서에 나오는 음함수 미분법과는 약간 다른 방법이다. 익숙해지면 계산 과정을 줄일 수 있다.

 

음함수 $f(x,y)=0$에서 

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x 로\; 미분\; (y는 \;상수 \;취급)}{y로\; 미분\;(x는 \;상수 \;취급)}$$

편미분 기호를 사용하면 아래와 같다.

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}}$$

간단한 예를 들어 비교해보자.

 

Example 1

 

곡선 $x^2 + xy + y^2 =7$ 에서   $\displaystyle\frac{dy}{dx}$을 구하여라.

 

 

[풀이1]  $\displaystyle\frac{d}{dx}\left(x^2 + xy + y^2\right) =\displaystyle\frac{d}{dx}7$  에서

 

$$2x+1\cdot y + x \displaystyle\frac{dy}{dx}+2y\displaystyle\frac{dy}{dx}=0$$

$$(x+2y)\displaystyle\frac{dy}{dx}=-(2x+y)$$

$$\therefore\;\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$$

 

[풀이2]  $\displaystyle\frac{dy}{dx} =-\displaystyle\frac{2x+y}{x+2y}$ 

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

Example 3

 음함수  $\displaystyle\frac{y}{x}+\displaystyle\frac{x}{y}=1$ 에서   $\displaystyle\frac{dy}{dx}$는? 

[풀이] 양변에 $xy$를 곱한 후 정리해주면

$$xy-x^2 -y^2 =0$$

$\therefore \; \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{2x-y}{x-2y}$ $(x-2y\neq0)$

 

 

 

 

Example 3

$\sin xy + x \sin y + y\cos x =1 $에서  $\displaystyle\frac{dy}{dx}$는? 

 

[풀이] $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{y\cos xy +\sin y - y \sin x}{x\cos xy + x \cos y +\cos x}$ 

 

 

 

 

 

Example 4

곡선 $\pi x =\cos y + x \sin y $ 위의 점 $\left( 0, \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$ 에서의 접선의 기울기는? [2019년 9월 평가원]

 

[풀이] $\cos y + x \sin y -\pi x =0$ 에서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{\sin y - \pi}{-\sin y + x \cos y}$ 

$$\left[ \displaystyle\frac{dy}{dx} \right]_{x=0,\; y=\frac{\pi}{2}}=1-\pi$$