이차함수 그래프의 성질 2

이차함수 그래프의 성질 2

이차함수 위의 두 점 A, B에서 두 접선이 만나는 점을 P 라 할 때, 직선 AB와 곡선으로 둘러싸인 영역을 T, 두 접선과 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 S라 할 때, 두 영역의 넓이 비는

$$\rm T:S = 2:1$$ 이다.

 

 

Proof

 

이차함수 $f(x)=ax^2 +bx+c \;(a>0),$ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 $g(x)$ 라 하자.

두 직선이 만나는 점을  P, 점 P에 수직인 직선이 $f(x)$ 와 만나는 점을 Q, $g(x)$ 와 만나는 점을 R이라 하면

 

삼각형 PAB의 넓이를 S는

$$\rm  S=\frac{1}{2} (\beta-\alpha) \overline{PR}$$

점 P점의 $x$ 좌표를 $\gamma$라 하면 $\gamma=\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$ 이므로

 \begin{align}
\overline{\textrm{PR}} &=2a(\gamma-\alpha)^2 \\ 
&=2a \cdot \frac{(\beta-\alpha)^2}{4} \\
&=\frac{a}{2} (\beta -\alpha)^2 
\end{align}

한편,  T 영역의 넓이는 

$$\frac{a(\beta-\alpha)^3 }{6}$$이므로

 

S=삼각형 PAB의 넓이  $-$ T 에서

\begin{align}
\textrm{S}&=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{4}-\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6} \\
&=\frac{a(\beta -\alpha)^3}{12}
\end{align}

 

$$\therefore \; \textrm{T}:\textrm{S}=\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}:\frac{a(\beta-\alpha)^3}{12}=2:1$$

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

Example 1

 

곡선 $y=x^2 -4x+3$ 과 이 곡선 위의 두 점 $(0, 3), \;(4,3)$에서의 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

[해설] 두 점을 지나는 직선과 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는

$$\frac{(4-0)^3}{6}=\frac{32}{3}$$

구하는 영역의 넓이는 

$$\therefore \; \frac{1}{2} \times \frac{32}{3}=\frac{16}{3}$$