함수의 대칭의 성질 2

함수 그래프의 대칭성 여러 가지 성질

 

$f(x)=\pm f(-x)$  이고  $ f(x)=f(2a-x)$를      동시에 만족하면      $f(x)$는 주기성을 갖는다.

 대칭이 두 번 적용되면 주기성을 갖는다.

 

 [증명]

 (1) $f(x)=f(-x)$ 이고 $f(x)=f(2a-x)$인 경우$$f(-x)=f(x)=f(2a-x)$$     여기서 $-x$를  $x$로 바꾸어 주면

$$f(x)=f(2a+x)$$이므로  함수 $f(x)$ 는 주기함수이다. 

 

 

 

(2) $f(x)=-f(-x)$ 이고 $f(x)=f(2a-x)$ 인 경우 

     $f(x)=f(2a-x)=-f(x-2a$  $\left ( \because f(-x)=-f(x) \right ) $
             $=-f(4a-x)=f(x-4a)$  $\left ( \because f(x-2a)=f(x-4a) \right ) $

 여기서 $x$ 대신  $x+4a$ 를 대입해주면
$$f(x)=f(x+4a)$$이므로 함수 $f(x)$ 는 주기함수이다.

 

 참고로 (1), (2)의 주기는 $\displaystyle\frac{|\,2a\,|}{n} $, $\displaystyle\frac{|\,4a\,|}{n} $  ( $n$ 자연수 )

 

 

나만 알고싶은 나만의 수학 비법

 

Example 1

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.   (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 이다.   (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(4-x)$ 이다.   (다) $f(x)=\begin{cases}4^{-x+1}-1 & ( 0 \leq x <1)\\4^{x-1}-1 & (1 \leq x <2)\end{cases}$  함수 $f(x)$ 의 그래프가 함수 $y=\log _2 x +1$ 의 그래프와 만나는 점의 개수는? ⓛ  4          ②  5          ③  6          ④  7          ⑤  8

[풀이] 주기성을  먼저 파악해야 한다.

(가), (나)에 의해서 $f(x)$는 주기함수이다.  주기는 $\displaystyle\frac{|\, 4\, |}{2}$가 된다.

반드시 그래프를 그려서 주기를 최종 확인해야 한다.

 따라서 구하는 교점의 개수는 $4$ 개다.

 

 

 

 

Example 2

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족시킨다.  (가) $-2\leq x\leq0$ 일 때, $f(x)=|\,x+1\,|-1$  (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여  $f(-x)=-f(x)$  (다) 모든 실수 $x$ 에 대하여  $f(2-x)=f(2+x)$ $-10 \leq x \leq 1000$ 에서 $y=f(x)$ 의 그래프와 $y=\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x $ 의 그패프의 교점의 개수는?

[풀이] 먼저 주기성을  catch 해야 한다.

  (나), (다)에서 주기성이 있음을 알 수 있다

   $f(x)=-f(-x)=-f(4+x)=f(-4-x)=f(8+x)$ 에서 주기는 $8$ 이다.

   그래프를 그려보면

한 주기 $8$ 마다 $4$ 개의 교점이 생기므로  $1000=8 \times 125$ 에서

$4\times 125=500$ 따라서 구하는 교점의 개수는 $500$ 개다.