함수의 대칭의 성질 3

함수 그래프의 대칭성 여러 가지 성질 3

 

$$ \boxed{1}\;\;\;g(x)=f(a+x)+f(b-x)$$ $\Rightarrow$   함수 $g(x)$ 는 직선 $x=\displaystyle\frac{b-a}{2}$ 에 대칭이다. $$\boxed{2} \;\;\; g(x)=f(a+x)-f(b-x)+c$$ $\Rightarrow$   함수 $g(x)$ 는 점 $ \left ( \displaystyle\frac{b-a}{2}, c \right)$  에 대칭이다.

 

$\boxed{1}$ [증명]

$g\left( \displaystyle\frac{b-a}{2}-x \right) $

$=f\left \{a+ \left( \displaystyle\frac{b-a}{2}-x \right) \right\}+f\left\{b- \left(\displaystyle \frac{b-a}{2}-x \right) \right\}$

$=f\left( \displaystyle\frac{a+b}{2}-x \right) +f\left(\displaystyle \frac{b-a}{2}-x \right)\tag{1} \cdots\cdots (1)$

 

$g\left( \displaystyle\frac{b-a}{2}+x \right) $
$=f\left \{a+ \left( \displaystyle\frac{b-a}{2}+x \right) \right\}+f\left\{b- \left(\displaystyle \frac{b-a}{2}+x \right) \right\}$
$=f\left( \displaystyle\frac{a+b}{2}+x \right) +f\left(\displaystyle \frac{b-a}{2}+x \right)\tag{1} \cdots\cdots (2)$

 

$(1)=(2)$에서 $$\therefore \; g\left( \displaystyle\frac{b-a}{2}-x \right)=g\left( \displaystyle\frac{b-a}{2}+x \right) $$

함수 $g(x)$ 는 직선 $x=\displaystyle\frac{b-a}{2}$ 에 대칭이다.

 

예를 들어

$f(x)=|\,x-1\,|+|\,3-x\,| $ 의 그래프는 직선 $x=2$ 에 대칭이다.

$\boxed{2}$ [증명]

 $g\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}-x\right)+ g\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}+x\right)$
 $=\left\{f\left(a+\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}-x\right)\right)-f\left(a+\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}-x\right)\right)+c\right\}+$
 $\left\{f\left(a+\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}+x\right)\right)-f\left(a+\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}+x\right)\right)+c\right\} $
 $=\left\{f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}-x\right)-f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}+x\right)+c\right\}+$
 $\left\{f\left(\displaystyle\frac{b+a}{2}+x\right)-f\left(\displaystyle\frac{b+a}{2}-x\right)+c\right\}=2c$

$$\therefore g\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}-x\right)+ g\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}+x\right)=2c$$

함수 $g(x)$ 는 점 $\left(\displaystyle\frac{b-a}{2}, c\right)$ 에 대칭이다.

 

예를 들어

$f(x)=|\,x-1\,|-|\,3-x\,| $ 의 그래프는 점 $(2,0)$ 에 대칭이다.

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

Example 1

방정식 $2^{x+2}+2^{4-x}=32$ 가 서로 다른 두 근의 합을 구하여라.

[해설] 대칭성을 먼저 캐치한다.

$f(x)=2^{x+2}x+2^{4-x}-32$ 이라 하면 $f(x)$ 는 $x=1$ 에 대한 대칭이다.

따라서 두 근의 합은 $2$가 된다. 

 

 

 

 

Example 2

함수 $f(x)=\log _2 (x+3) - \log _2 (5-x) +2$ 는 점 $(a+b)$ 에 대칭이다. $a+b$ 의 값은?

[해설] $g(x)=\log _2 x$ 라 하면 $f(x)=g(x+3)-g(5-x)+2$ 에서 

$f(x)$ 는 점 $(1, 2)$ 에 대한 대칭이므로 $a+b=3$ 이다.