함수의 대칭의 성질 1

함수 그래프의 대칭성 여러 가지 성질 [ 기본편]

함수의 그래프를 이해하는 데에 있어서 대칭성은 매우 중요한 역할을 한다. 특히나 킬러문항에서는 결정적 단서가 되기도 한다. 이 번 글에서는 여러가지 대칭성에 대한 이야기 이다. 우선 기본적인 내용부터 심화 내용까지 나누어서 연재하기로 한다.

 

(1) $f(-x)=f(x)$ 이면 $f(x)$는 우함수( $y$ 축 대칭 )이다.

     조금 더 나가서 

     $f(x)+f(-x)$ 도 함수 $f(x)$ 에 관계없이 우함수이다.

     $g(x)=f(x)+f(-x)$라 하면 

$$g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)$$

     이므로 $g(x)$는 우함수이다.

 

 

(2) $f(-x)=-f(x)$ 이면 $f(x)$는 기함수 (원점대칭)이다.

    조금 더 나가서 

     $f(x)-f(-x)$ 도 함수 $f(x)$ 에 관계없이 기함수이다.

     $h(x)=f(x)-f(-x)$ 라 하면

$$h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)$$

     이므로 $h(x)$ 는  기함수이다.

 

예를 들어,

$$ e^x + e^{-x}, \; \ln (2+x) + \ln (2-x), \; \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$$

는 모두 우함수이다.

$$ e^x - e^{-x}, \; \ln (2+x) - \ln (2-x), \; \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$$

는 모두 기함수이다.

 

아주 간단한 문제를 하나 풀어보기로 하자.

 

Example 1

방정식 $x^4 -x^2  + 3^x + 3^{-x}= k$ 가 실근을 가질 때, 모든 근의 합을 구하여라.

 

[풀이]

$f(x)=x^4 -x^2  + 3^x + 3^{-x}$ 라 하면 $f(x)$는 우함수이다.

$y$ 축에 대칭이므로 모든 근의 합은 0이다.

 

 

(3) $f(a+x)=f(a-x)$ 또는 $f(x)=f(2a-x)$

    를 만족하면 함수 $f(x)$ 는 직선 $x=a$ 에 대칭이다.

    식의 구조를 분석해 보면

    양 쪽의 괄호 안의 식의 합이 $2a$로 일정하다.

 

   수학에서 두 값의 합이 일정하다는 말은 두 값이 묶여 있음을 의미한다.

   $$\frac{a+b}{2}=k$$

   $a, b$는 k에 대한 대칭이다.

 

몇가지 예로서   

$$ _{n} \textrm{C}_{r}= _n \textrm{C}_{n-r}$$ 에서도 오른쪽 아래 숫자의 합이 $n$ 으로 묶여있기 때문에 대칭성이 나올 수 밖에 없는 구조이다.

 

만약 수열에서 다음과 같은 식이 있을 때,

$$a_{n}=a_{10-n}$$

수열 $a_n$ 이 대칭성이 존재함을 우선적으로 캐치해야한다.

 

(4) $f(a+x)+f(a-x)=2b$ 또는 $f(x)+f(2a-x)=2b$

   를 만족하면 함수 $f(x)$ 는 점 $(a, b)$ 에 대한 대칭이다.

   식의 구조를 분석해 보면 괄호 안의 식의 합은 $2a$로 묶여있고 함숫값의 합도 $2b$로 묶여 있다. 따라서 점에 대한 대칭구조가 나올 수 밖에 없는 식이다.

참고로, 아래와 같은식도 점 $(a, b)$ 에 대한 대칭이다.

$$f \left ( \frac{2a}{3}+x \right )+ f \left ( \frac{4a}{3}-x \right )=2b$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법   1000부 한정판매

 

 

Example 2

함수 $f(x)=\displaystyle\frac{4^x}{4^x +2}$ 가  점 $\left ( \displaystyle\frac{1}{2},  \displaystyle\frac{1}{2} \right ) $ 에 대한 대칭을 이용하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100}f\left(\frac{k}{101} \right)$ 의 값을 구하여라.

[풀이]

함수 $f(x)$ 는 $f(x)+f(1-x)=1$ 을 만족하다.

$\displaystyle\sum_{k=1}^{100} f\left(\frac{k}{101} \right)$

$=\left\{f\left(   \displaystyle \frac{1}{100}\right) + f\left(    \displaystyle\frac{100}{100}\right)  \right\}+ \left\{f\left(  \displaystyle  \frac{2}{100}\right) + f\left(   \displaystyle \frac{99}{100}\right)  \right\}$

$\;\;\; +\cdots+ \left\{f\left(  \displaystyle  \frac{50}{100}\right) + f\left(   \displaystyle \frac{51}{100}\right)  \right\}=1\times 50 =50$

 

 

 

 

 

 

Example 3

유리함수 $f(x)=\displaystyle\frac{8x}{2x-15}$ 와 수열 $\left \{ a_n \right\}$  에 대하여 $a_n = f(n)$ 이다.   $\displaystyle\sum_{n=1}^{m}a_n \leq 73$ 를 만족시키는 자연수 $m$ 의 최댓값을 구하시오  [2016년 3월 교육청]

[풀이]

함수 $f(x)$ 는 점 $\left( \displaystyle\frac{15}{2}, 4 \right)$에 대칭이다.

 $f(x)+f(15-x)=8$을 만족한다.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{m}a_n = \displaystyle\sum_{n=1}^{m}f(n) $

$\;\;\;=\left\{ f(1)+f(14)\right\}+\left\{ f(2)+f(13)\right\} $
$\;\;\; +\cdots+\left\{ f(2)+f(13)\right\}+f(15)+f(16) $
$\;\;\; =8\times7 + 8+7.83=71.83 \leq 73 $

 

 

 

다음글에 이어서 쓰도록 하겠습니다.

중간에 광고를 클릭해 주시면 운 좋으면 한 달에 한 번 아메리카노를 마실 수 있답니다.