이차함수 그래프의 성질 1

이차함수 그래프의 성질

이차함수 위의 두 점 A, B를 이은 직선 AB와 평행한 접선을 그을 때, 접선 $x$ 의 좌표는 두 점 A, B의 중점이다.

[증명]

$f(x)=ax^2 + bx + c,$ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 $g(x)=mx+n$ 이라 하자.

$f(x), g(x)$ 의 교점의 좌표를 $\alpha ,\beta,$ 직선 AB와 평행한 접선의 접점을 C라 하고 그 점의 $x$ 좌표를 $\gamma$ 라 하면

$f(x)-g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 라 놓을 수 있다.

양변을 미분하면

$f'(x)-g'(x)=2ax-a(\alpha - \beta)$ 에서

$f'(\gamma)=g'(\gamma)=2a\gamma -a(\alpha+\beta)$

한편, $f'(\gamma)=g'(\gamma)=m$ 이므로

$$\therefore \; \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}$$  

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

 

이차함수 위의 두 점  A, B에서 두 접선이 만나는 점을 P라 하면 (1) 점 P의 $x$ 의 좌표는 두 점 A, B의 중점이다. (2) $\rm \overline{PQ}=\overline{QR}$

[증명]

(1) Proof

$f(x)=ax^2 + bx + c \;(a>0)$ 이라 하고, 두 점 A, B의 $x$좌표를 각각 $\alpha, \beta$ 라 하자.

두 점 A, B에서의 접선의 방정식을 각각 $g(x), \; h(x)$라 하면

$$f(x)-g(x)=a(x-\alpha)^2$$

$$f(x)-h(x)=a(x-\beta)^2$$이라 놓을 수 있다.

두 접선의 교점의 $x$ 좌표를 $\gamma$ 라 하면

$$f(\gamma)-g(\gamma)=f(\gamma)-h(\gamma)$$이므로$$a(\gamma-\alpha)^2 = a(\gamma-\beta)^2 $$$$a(\beta-\alpha)(2\gamma-\alpha-\beta)=0$$$$\therefore \; \gamma=\frac{\alpha+\beta}{2} \;(\because \beta \neq \alpha)$$

 

(2) Proof

$f(x)=ax^2 + bx + c \;(a>0), $ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 $g(x)$ 라 하면 

$$f(x)-g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$$ 라 놓을 수 있다.

$$\overline{\textrm{QR}}=g(r)-f(r)=-a(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)$$

$$=a(\gamma-\alpha)^2 \; \;\because \; (1) $$

한편, 점 A에서의 접선의 방정식을 $h(x)$ 라 하면

$$f(x)-h(x)=a(x-\alpha)^2$$이라 놓을 수 있다.

$$\overline{\textrm{PQ}}=f(\gamma)-h(\gamma)=a(\gamma-\alpha)^2$$

$$\therefore \; \overline{\textrm{PQ}}=\overline{\textrm{QR}}$$