합성함수의 극한값 구하기

   합성함수의 극한값 구하기 

합성함수를 구하는 과정을 심플하게 풀어보자. 

 

Example 1

그림은 $y=f(x)$ 의 그래프이다. 합성함수 $f(f(x))$ 에 대하여 각점에서의 연속성을 조사하여라. (1)    $x=1$ (2)    $x=2$ (3)    $x=3$

[solve]

(1) $x=1$에서 함숫값, 우 극한값, 좌극한값을 아래 표와 같이 정리한다. 

(1) 번		$f$		$f$
$f\left ( f(x) \right )$	$1$	$\to$	$-1$	$\to$	$1$
$\displaystyle \lim_{x \to 1+}f\left ( f(x) \right )$	$1+$	$\to$	$-1+$	$\to$	$1$
$\displaystyle \lim_{x \to 1}f\left ( f(x) \right )$	$1-$	$\to$	$1-$	$\to$	$1$

 함수값 $1$ = 우극한값 $1$ =좌극한값 $1$ 이므로 $x=1$에서 연속이다.

 

 

(2) 번	$f$		$f$
$2$	$\to$	$0$	$\to$	$0$
$2+$	$\to$	$1-$	$\to$	$1$
$2-$	$\to$	$0-$	$\to$	$0$

 극한값이 존재하지 않으므로 $x=2$에서 불연속이다.

 

수식으로 나타내서 합성함수의 극한값을 구하려다 보면 적잖은 수식이 사용된다. 표를 만들어서 극한값을 추정하면 실수를 줄일 수 있어 매우 효과적이다.

 

(3) 번	$f$		$f$
$3$	$\to$	$0$	$\to$	$0$
$3+$	$\to$	$0-$	$\to$	$0$
$3-$	$\to$	$0+$	$\to$	$0$

함수값 $0$ $=$ 우극한값 $0$ $=$좌극한값 $0$ 이므로 $x=3$에서 연속이다.

 

 

나만의 수학 비법

 

 

Example 2

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $y=f(x),$  $y=g(x)$ 의 그래프가 아래 그림과 같을 때, $x=1$ 에서 연속을 조사하여라. (1) $f(f(x))$ (2) $g(f(x))$ (3) $g(f(x))$ (4) $g(g(x))$

[solve]

(1) 번	$f$		$f$
$1$	$\to$	$0$	$\to$	$1$
$1+$	$\to$	$-1$	$\to$	$0$
$1-$	$\to$	$1$	$\to$	$0$

함숫값$1$  $\neq$ 극한값 $0$이므로 불연속

 

(2) 번	$f$		$f$
$1$	$\to$	$1$	$\to$	$1$
$1+$	$\to$	$-1-$	$\to$	$-1$
$1-$	$\to$	$-1+$	$\to$	$1$

극한값이 존재하지 않으므로 불연속

 

 

 

 

(3) 번	$f$		$f$
$1$	$\to$	$0$	$\to$	$0$
$1+$	$\to$	$-1$	$\to$	$-1$
$1-$	$\to$	$1$	$\to$	$1$

극한값이 존재하지 않으므로 불연속

 

 

(4) 번	$f$		$f$
$1$	$\to$	$1$	$\to$	$1$
$1$	$\to$	$-1-$	$\to$	$1$
$1$	$\to$	$-1+$	$\to$	$1$

함숫값 $1$ $=$  극한값 $1$ 이므로 연속