매개변수 이계도 함수

    매개변수로 표시된 함수의 이계도함수 구하기

$$\left\{\begin{matrix}
 x=f(t)\\
y=g(t)
\end{matrix}\right. $$

일 때  매개변수 미분법에 의해서

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$$

이므로 이계도함수

$$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$$

$$=\frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \times \frac{1}{f'(t)}$$

가 된다.

 

Example 1

$\left\{\begin{matrix}  x=t-\sin t\\ y=1-\cos t \end{matrix}\right. $에서  $\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}$의 값은?

[해설] cycloid curve의 매개변수식이다.

     $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-\cos t, \; \displaystyle\frac{dy}{dt}=\sin t $ 에서

\begin{align}

 \frac{d^{2}y}{dx^2}&=\frac{d}{dt}\left(   \frac{\sin t}{1-\cos t} \right)\cdot \frac{1}{1-\cos t} \\

&=\frac{(\sin t)'(1-\cos t)-\sin t (1-\cos t)'}{(1-\cos t)^2} \times \frac{1}{1-\cos t} \\

&=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin^{2} t}{(1-\cos t)^2} \times \frac{1}{1-\cos t} \\

&=\frac{\cos t-(\cos^{2}+\sin ^{2} t)}{(1-\cos t)^3} \\

&=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^3} =-\frac{1}{(1-\cos t)^2}

\end{align}

 

Example 2

$\left\{\begin{matrix}  x=\displaystyle\frac{t^2 -1}{t^2 + 1}\\ y=\displaystyle\frac{2t}{t^2 +1} \end{matrix}\right. $에서  $\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}$의 값은?

[해설]

\begin{align} 
\displaystyle \frac{dx}{dt}&=\frac{2t(t^2 +1)-2t(t^2 -1)}{(t^2 +1)^2}= \frac{4t}{(t^2 +1)^2} \\
\displaystyle \frac{dy}{dt}&=\frac{2(t^2 +1)-2t\cdot 2t}{(t^2 +1)^2}= \frac{2(1-t^{2})}{(t^2 +1)^2}
\end{align} 
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{\displaystyle\frac{2(1-t^2)}{(t^2 +1)^2}}{\displaystyle\frac{4t}{(t^2 +1)^2}}=\frac{1-t^2}{2t}$$

\begin{align}
 \frac{d^{2}y}{dx^2}&=\frac{d}{dt}\left(  \frac{1-t^2}{2t} \right)\cdot \frac{4t}{(t^2 +1)^2} \\
&=\frac{(1-t^2 )' 2t - (1-t^2 )(2t)'}{4t^2} \cdot \frac{4t}{(t^2 +1)^2} \\
&=-\frac{(t^2 +1)^3}{8t^3} \\
\end{align}