등비수열의 여러가지 별난 성질

첫째항이 $a$, 공비가 $r$ 인 등비수열의 일반항은 

$$ a_{n}=ar^{n-1} $$이다.

여기서, 자연수 $n, m$ 를 실수까지 확장하면 아래식도 성립하게 된다.

$$ a_{n} \cdot a_{m} =\left (a_{\frac{{m+n}}{2}}  \right )^2 $$

[증명]  

\begin{align}

a_{n}\cdot a_{m} &=a_{1}r^{n-1}\cdot a_{1}r^{m-1} \\

&=a_{1} ^{2} r^{n+m-2} \\

&=\left (   a_{1} r^{   \frac{n+m}{2}-1          }  \right )^2 \\

&=\left (a_{\frac{{m+n}}{2}}  \right )^2

\end{align}

따름정리로서

$$n+m=p+q \; \Rightarrow \; a_{n}a_{m}=a_{p}a_{q}$$

가 성립한다.

[증명] \begin{align}

a_{n}\cdot a_{m} &=a_{1}r^{n-1}\cdot a_{1}r^{m-1} \\

&=a_{1} ^{2} r^{n+m-2} \\

&=a_{1} ^{2} r^{p+q-2} \\

&=a_{1}r^{p-1}\cdot a_{1}r^{q-1} \\
&=a_{p}  \cdot a_{q} 
\end{align}

Example 1

등비수열 $\left\{ a_{n}\right\}$ 에 대하여 $a_{1}a_{9}=4$ 일때, $a_{2}a_{8}+a_{4}a_{6}$의 값은?

[해설] $ a_{1}a_{9}=a_{2}a_{8}=a_{4}a_{6}=4$ 에서 $a_{2}a_{8}+a_{4}a_{6}=4+4=8$

 

 

Example 2

등비수열 $\left\{ a_{n}\right\}$ 에 대하여 $a_{5}a_{6}=2$가 성립할 때, $a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{10}$ 값은?

[해설] $a_{5}a_{6}=\left (  a_{\frac{11}{2}}\right )^2$ 에서

    $\left ( a_{1} \times a_{10} \right ) \times \left ( a_{2} \times a_{9} \right ) \times \cdots \left ( a_{5} \times a_{6} \right )  $

     $=\left\{     \left (  a_{\frac{11}{2}}\right )^{2}             \right\}^{5} =32$ 

 

Example 3

공비가 양수인 등비수열 $\left\{ a_{n}\right\}$ 에 대하여 $a_{2}a_{8}a_{10}a_{16}=4$일 때,   $a_{3}a_{15}+a_{7}a_{11}$ 의 값은?

[해설] $a_{2}a_{16}=a_{8}a_{10}=a_{3}a_{15}=a_{7}a_{11}=k$ (두 항의 항수의 합이 18로 일정)라 하면

      $k^{2}=4$ 에서 $k=2$($k$는 양수) $ \therefore a_{3}a_{15}+a_{7}a_{11}=2k=4$