등차수열의 여러가지 별난 성질

등차수열은 이웃하는 두 항의 차가 일정한 수열을 말한다.  첫번째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

$$ a_{n} = a+(n-1)d$$

등차수열의 일반항은 $n$에 대한 일차식이므로 공차$n$은 기울기와 같은 성질을 가지고 있다.

예를 들어 $a_{l}=p$,  $a_{m}=q$인 등차수열에서 공차 $d$는 다음과 같다.

$$ d= \frac{p-q}{l-m}$$

이를 이용해서 일반항을 구해보면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$ a_{n} = \frac{p-q}{l-m}(n-l)+p $$

Example 1

제 $m$항이 $n$, 제 $n$항이 $m$인 등차수열에서 제 $2m+n$ 항은 (단, $ m<n$)

[해설] $a_{m}=n$, $a_{n}=m$에서   $a_{2m+n}=\displaystyle\frac{n-m}{m-n}(2m+n-n)+m=-m$

 

여기서, 자연수 $n, m$을 실수로 확장하면 등차수열의 두 항을 하나로 표현할 수 도 있다.

$$ a_{n}+a_{m}=2a_{\frac{m+n}{2}}$$

[증명]\begin{flalign}

a_{n}+a_{m}&=a_{1} +(n-1)d + a_{1} + (m-1)d \\

&=2a_{1} +(n+m-2)d \\

&=2\left\{    a_{1}+\left (  \frac{n+m}{2} -1          \right )d                     \right\}\\

&=2a_{\frac{m+n}{2}} &&

\end{flalign}

또, 따름정리로서 

$n+m=p+q$가 성립하면 $a_{n}+a_{m}=a_{p}+a_{q}$ 가 성립한다.

[증명]

\begin{flalign}
a_{n}+a_{m}&=a_{1} +(n-1)d + a_{1} + (m-1)d \\

&=2a_{1} +(n+m-2)d \\

&=2a_{1} +(p+q-2)d \\

&=a_{1} +(p-1)d + a_{1} + (q-1)d \\

&=a_{p}+a_{q} &&

\end{flalign}

 

Example 2

등차수열  $ \left\{ a_{n}\right\}$에서 $ a_{30}=2010$ 이고  $a_{45}+a_{55}=2030$ 일 때,  $a_{70}$ 값은?

[해설] $ a_{45}+a_{55}=a_{30} + a_{70}$ 에서 $a_{70}=20$

 

등차수열에서 첫째항부터 $n$ 항까지 합을 $S_{n}$ 이라 하면 

$$ S_{n}=na_{\frac{1+n}{2}} $$

[증명] $ S_{n}=  \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} =\frac{n}{2}\cdot 2a_{\frac{1+n}{2}} $

 

더 나가서

$$ \sum_{k=m}^{n} a_{k}=(n-m+1)a_{\frac{m+n}{2}} $$

Example 3

등차수열 $ \left\{ a_{n}\right\}$에서 제6항 부터 제10항까지의 합이 40일 때, 이 등차수열의 첫째항부터 제15항까지의 합은?

[해설] $ \displaystyle\frac{5(a_{6}+a_{10})}{2}=5a_{8}=40$ 에서 $a_{8}=8$

        따라서 $\displaystyle\frac{15(a_{1}+a_{15})}{2}=15a_{8}=120$

 

Example 4

등차수열 $ \left\{ a_{n}\right\}$에서 제7항부터 제27항까지의 합이 105이고 제5항부터 제45항까지의 합이 84인 등차수열에 대하여 제17항부터 제25항 까지의 합을 구하여라.

[해설] 

$ \displaystyle\frac{21(a_{7}+a_{27})}{2}=\frac{21}{2} \cdot 2a_{\frac{7+27}{2}}=21a_{17}=105 $      $\therefore a_{17}=5$

$ \displaystyle\frac{31(a_{5}+a_{45})}{2}=\frac{31}{2} \cdot 2a_{\frac{5+45}{2}}=31a_{25}=93 $      $\therefore a_{25}=3$

     따라서 구하는 합은 $ \displaystyle\frac{9(a_{17}+a_{25})}{2}=\frac{9(5+3)}{2} =36$

 

나만의 수학 비법