정\(n \)각형 ( \(n\)은 짝수)에서
(1) 직각 삼각형의 개수
\(n=2k \) \( \left(k \geq2 \right) \) 라 하자.
\(2k \)개의 꼭짓점 중에서 하나의 점을 선택해준다.
\( \Rightarrow \) \(2k \) 가지 \( \cdots \cdots (a) \)
[그림1]에서는 \( A_{1} \)을 선택했다고 하자.)
점 \( A_{1} \)을 기준으로 반시계 방향을 \( x \) 칸 떨어진 위치에
한 점을 잡아주고 다시 그 점에서 \( y \) 칸 떨어진 위치에 나머지
한 점을 잡아준다.
*한 방향으로만 식을 세워야지 직각삼각형이 중복되지 않는다.
\( x+y=k\) \( \left(x \geq1, y \geq1 \right) \)
\( _{2} \rm H \) \( _{k-2} \) \( \cdots \cdots (b) \)
을 만족하면 하나의 직각삼각형이 결정된다.
따라서, (a), (b)에 의하여
\( 2k \times _{2} \rm H \) \( _{k-2} =2k(k-1) \) (개)
(1) 둔각 삼각형의 개수
둔각삼각형이 되기 위해서는
\(2k \)개의 꼭짓점 중에서 하나의 점을 선택해준다.
\( \Rightarrow \) \(2k \) 가지 \( \cdots \cdots (c) \)
\( x+y<k\) \( \left(x \geq1, y \geq1 \right) \)
\( _{2} \rm H \) \( _{k-2} \)
을 만족하면 하나의 둔각삼각형이 결정된다.
위의 부등식의 정수해는 아래 부등식의 해와 같다.
이전 포스팅 참고하면 된다.
\( x+y+z = k-3\) \( \left(x \geq0, y \geq0, z\geq0 \right) \)
\( _{3} \rm H \) \( _{k-3} \) \( \cdots \cdots (d) \)
따라서, (c), (d)에 의하여
\( 2k \times _{3} \rm H \) \(_{k-3} \) \(=k(k-1)(k-2) \) (개)
(3) 예각 삼각형의 개수
예각삼각형 = 삼각형의 개수 - 직각삼각형 - 둔각삼각형
\( _{n} \rm C _{3}\) \( - 2 k \times_{2} \rm H \) \( _{k-2} - 2k \times _{3} \rm H\) \( _{k-3} \)
\(=\frac{1}{3}k\left( k-1 \right)(k-2)\)
여기서, 흥미로운 사실은
둔각삼각형 : 예각삼각형 = \(=k(k-1)(k-2) : \) \(\frac{1}{3}k\left( k-1 \right)(k-2)\) 에서
둔각삼각형과 예각삼각형의 비가 3 : 1 이 된다는 것을 알 수 있다.
기하학적 관점에서는 살펴보기로하자.
하나의 예각삼감형 ABC에 대하여 선택하게되면 각 꼭짓점에서 원점에 대칭이 점이 존재하게 된다.
즉, 예각삼각형 하나에 둔각 삼각형 3개가 유일하게 대응되는 것을 알 수 있다.
따라서, 둔각삼각형과 예각 삼각형의 비는 3 : 1이 된다.
| [속해법] 비교적 구하기 쉬운 삼각형 개수에서 직각삼각형의 개수를 빼준 값을 3 : 1 로 나누어 주면 둔각삼각형과 예각삼각형의 개수를 빠르게 구할 수 있다. |
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