역함수의 적분은 고교과정에서 까다롭다. 무엇보다 문자가 서로 바뀌는 과정에서 오는 혼란때문이다. 역함수의 적분은 고등학교 과정만으로는 해결할 수가 없다. 그래서 보통 역함수 적분문제는 그림을 이용해야 하는 경우가 많다. 이 글에서는 역함수 적분에 대한 많은 아이디어를 제공한다.
먼저 가장 고전적인 문제부터 보기로 하자.
| 예제1 | |
함수 \( f(x) \) 와 그 역함수 \( g(x) \)에 대한 그래프이다.  \( \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{1}^{4} g(x)dx \) 의 값을 구하여라. |
[해설] 일반적인 풀이는 대칭성을 이용한다.
\( \int_{0}^{1} f(x)dx =A \), \( \int_{1}^{4} g(x)dx =B \)라 하면
두 함수 \( f(x) \) 와 \( g(x) \)는 \( y=x \)에 대한 대칭이므로
위의 그림에서 B=C가 된다.
\( \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{1}^{4} g(x)dx =A +B=A+C= 1 \times 4 = 4 \)
위의 예제에서 보듯이 고등학교 교육과정 테두리 안에서 역함수의 적분은 직선 \( y=x \)에 대칭을 이용하는 것이 핵심이다.
역함수의 기본 개념에 대한 질문을 해보기로 하자.
\( y=f(x) \)와 \( x=g(y) \)는 서로 역함수 관계인가? ( 단, \( f(g(x))=x \) )
의외로 적지 않는 학생들이 이 질문에 대한 답변을 '맞다"라고 생각하는 학생들이 많다. 위의 두 식은 단지 좌변을 \( x= \) 로 정리했는지 \( y= \)로 정리했는냐의 차이 밖에 없다.
예를 들어 \( y= x^3 +1 \Leftrightarrow x= \sqrt[3]{y-1} \) 와 같이 두 식은 같은 식이다.
또한, 그래프에서 역함수를 성질을 살펴보자.
역함수의 성질중 다음과 같은 것이 있다.
[그림1]은 중학생도 아는 기본적인 함수의 성질이다. 그런데, 반대로 [그림2]는 의외로 모르는 경우가 많다. 이 성질은 역함수 관련 문제를 푸는 데 있어서 상당히 효과적이다.
또한, 정적분의 값을 계산하는 데 있어서 피적분함수의 변수는 중요하지 않다.
\( \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt \)
이를 이용하여 [그림3]에서
B영역의 넓이는\( B= \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)dx \) 가 되고
A영역의 넓이는 \( A=\int_{a}^{b}g(y)dy=\int_{a}^{b} g(x)dx \)가 된다.
\( A= \int_{a}^{b} f(x)dx \) 의 값을 구할 때,
그래프에서 어느 부분인지 직관적으로 알 수 있다. 굳이 직선 \( y=x \)에 대칭을 이용하여 퍼즐을 맞출 필요가 없게 된다.
더 나아가서
\( A+B=\square OPQR + \square OESF \)
이 것을 식으로 표현해보면
\( \int_{a}^{b}g(x)dx+\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=bg(b)-ag(a) \)
만약 그림을 아래와 같이 주어지면
\( \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx=bf(b)-af(a) \)
와 같이 변형 될 수 있다.
| 예제2 |
| \( 0 \leq x < \frac{\pi }{2} \) 에서 함수 \( f(x) = tanx \) 의 역함수를 \( g(x) \)라 할 때, \( \int_{1}^{\sqrt[]{3}} g(x)dx + \int_{g(1)}^{g(\sqrt[]{3})} f(x)dx \) 의 값을 구하여라. |
[해설]
\( \sqrt[]{3} \times g\left ( \sqrt[]{3} \right ) - 1 \times g(1) = \sqrt[]{3} \times \frac{\pi}{3}-1 \times \frac{\pi}{4} \)
\( =\frac{4 \sqrt{3}-3}{12} \pi \)
이제 수식으로 역함수의 정적분을 표현해보기로 하자.
\begin{align}
\int_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx & = bf(a)-gf(a)\\
& =\left [ xf(x) \right ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(x)dx\\
& =\int_{a }^{b}xf'(x)dx
\end{align}
\( \therefore \int_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx=\int_{a}^{b} xf'(x)dx \)
| 예제3 |
함수 \( f(x)=x^3 + x^2 + 2x + 1 \) 이고 그 역함수를 \(g(x)\)라고 할 때, \( \int_{1}^{5}g(x)dx \)의 값을 구하여라. |
[해설] 위의 역함수 정적분 공식을 이용하면
\begin{align}
\int_{a}^{b}g(x)dx &= \int_{0}^{1}x( 3x^2 +2x +2)dx\\
&= \int_{0}^{1} ( 3x^3 +2x^2 + 2x)dx\\
&= \left [ \frac{4}{3}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + x^2 \right ]_{0} ^{1} = \frac{29}{12}
\end{align}
| 예제4 |
함수 \( f(x)=x^3 + x \)가 있다. 함수 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, \( \displaystyle \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n} \left ( g\left ( \frac{k}{n} \right ) - g\left ( \frac{k-1}{n} \right ) \right ) \frac{k}{n} \) 의 값을 구하여라. |
[해설] 급수를 정적분으로 변형하는 문제이다. 단순하게 공식으로만 무한급수를 정적분으로 바꾸어서 푼 학생들에게는 어려운 문제이다. 시그마 안에 있는 식이 기하학적 의미를 파악하는 것이 무엇보다 중요하다.
\( \left ( g\left ( \frac{k}{n} \right ) - g\left ( \frac{k-1}{n} \right ) \right ) \) 가 나타내는 영역은 \( A_{k} \)의 넓이를 의미한다. \( f(0)=0 \to g(0)=1 \) 이고 \( f(1)=2 \to g(2)=1 \)
이를 \( f(x) \) 식을 바꾸어서 나타내면
\( \therefore \int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} f(x)(x^3 + x)dx = \frac{3}{4} \)
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