급수의 기본 성질 | 무한급수의 수렴 발산

수렴하는 두 급수는 선형성을 갖는다.     $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\alpha,\;\; \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\beta $ 이면 $$ p\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ q\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=p\alpha+ q\beta $$

즉, 수렴하는 두 급수끼리 더하거나 빼주어(지지고 볶아도)도 수렴한다. 증명은 고등학교 수학 수준을 간단하게 뛰어 넘으므로 생략하기로 한다.  

 

Example 1

두 급수 $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( a_{n}-b_{n}+\frac{n}{n+1}   \right )$,  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( a_{n}+b_{n}+\frac{2n}{n+1}   \right )$가 각각 수렴할 때, $ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}a_{n}$ 의 값은?

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$가 수렴하면  $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ 이용

[solve] 두 급수가 각각 수렴하므로 더한 값도 수렴한다.

   $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left (  2a_{n}+\displaystyle\frac{n}{n+1} + \displaystyle\frac{3n}{n+1}\right ) $ 수렴하므로

     $ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left (  2a_{n}+\frac{n}{n+1} + \frac{3n}{n+1}\right )=0$ 에서

      $\therefore \displaystyle \lim_{ n\to \infty}a_{n}=-2$

 

나만의 수학 비법

 

Example 2

두 급수 $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( a_{n}-\frac{2n}{n+1}   \right )$,  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( b_{n}-\frac{3n}{n+2}   \right )$가 각각 수렴할 때, $ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left ( a_{n}-b_{n} \right ) $ 의 값은?

 

[solve] 두 급수가 각각 수렴하므로 빼준 값도 수렴한다.

\begin{flalign}
\sum_{n=1}^{\infty}&\left (  a_{n}-\frac{2n}{n+1}\right )- \sum_{n=1}^{\infty}\left (  b_{n}-\frac{3n}{n+2}\right ) \\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\left (  a_{n}-b_{n}-\frac{2n}{n+1}+\frac{3n}{n+2} \right ) \\
&=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left ( a_{n}-b_{n} \right )-2+3=0  \\
&\therefore\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left ( a_{n}-b_{n} \right )=-1  &&
\end{flalign}

 

Example 3

두 급수 $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 2a_{n}+3b_{n}   \right )$,  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 3a_{n}-2b_{n}   \right )$가 각각 수렴할 때,  $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$의 수렴, 발산을 조사하여라.

[solve] $ 2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}    \left ( 2a_{n}+3b_{n}   \right ) \cdots\cdots {}_{(1)}  $,    $ 3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}    \left ( 3a_{n}-2b_{n}   \right ) \cdots \cdots {}_{(2)} $ 각각 수렴한다.

$ (1), (2)$ 수렴하므로 $(1)+(2)$도 수렴한다.

$(1)+(2)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}    \left ( 12a_{n}   \right )$ 에서  $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 수렴한다.

 

Example 4

급수 $ \displaystyle \frac{2}{1^{3}} + \displaystyle \frac{3}{2^{3}} + \displaystyle \frac{4}{3^{3}} + \displaystyle \frac{5}{4^{3}} + \cdots $ 수렴, 발산을 조사하여라.

 상당히 까다로운 문제이다. 수렴하는 급수를 찾아내어야 한다.

  $p$급수의 수렴조건  $ p>1$ 일 때 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$는 수렴 이용한다.

[solve] $ \displaystyle \frac{2}{1^{3}} + \displaystyle \frac{3}{2^{3}} + \displaystyle \frac{4}{3^{3}} + \displaystyle \frac{5}{4^{3}} + \cdots $

   $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{3}} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}+ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}  $

     $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, \; \;  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}  $ 각각 수렴하므로 문제의 급수는 수렴한다.