정규분포를 따라는 확률밀도함수의 성질

정규분포를 따라는 확률밀도함수의 함숫값 비교

정규분포 확률밀도 함수는 평균에 대한 대칭이다. 정규분포의 확률밀도함수의 모양은 표준편차에 의해 결정된다. 표준편차가 같은 두 정규분포 확률밀도 함수의 그래프는 평행이동에 의해 일치할 수 있다. 

 

정규분포의 확률밀도함수의 함숫값은 평균에 가까울수록 크고 멀어질수록 작아진다. 

$$\left | \,m-a \, \right | <  \left |\, m-b \,\right |  \; \Rightarrow \; f(a) >f(b)$$

부등호 방향이 반대가 된다.

 

이를 이용하면 정규분포를 따르는 표준편차가 같은 두 확률밀도함수의 대소를 비교할 수 있다.  즉, 함숫값의 대소 관계 확인하기 위해서는 각각의 평균값과 $x$값 사이의 거리를 비교하면 된다.

 

 

 

 

확률변수 $X$가 정규분포 $N\left( m_1 , \sigma^2 \right)$
확률변수 $Y$가 정규분포 $N\left( m_2 , \sigma^2 \right)$를 따르고
확률변수 $X,\, Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \,g(x)$ 라 할 때,
$$\left | \,m-a \, \right | <  \left |\, m-b \,\right |  \; \Rightarrow \; f(a) >f(b)$$ $$\left | \,m-a \, \right | =  \left |\, m-b \,\right |  \; \Rightarrow \; f(a) =f(b)$$ $$\left | \,m-a \, \right | >  \left |\, m-b \,\right |  \; \Rightarrow \; f(a) <f(b)$$가 성립한다.

 

 

 

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Example 1

확률변수 $X$는 정규분포 $N\left( 10 , 4^2 \right)$ , 확률변수 $Y$는 정규분포 $N\left( m , 4^2 \right)$을 따르고, 확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$와 $g(x)$이다. $f(12)=g(26)$, $P(Y\geq 26)\geq 0.5$일 때, $P(Y\leq 20)$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [2016년 9월 평가원]

 

[풀이] 표준편차가 같기 때문에 두 함수는 같은 모양이다.

$f(12)=g(26)$에서 $\left | \,12-10 \, \right | <  \left |\, m-26 \,\right |$   

$$\therefore \; m=28 \left( \because P(Y\geq 26)\geq 0.5  \right)$$

\begin{align}
P(Y\leq 20)&=P \left( Z\leq \frac{20-28}{4} \right) \\
&=P(Z \leq -2) \\
&=0.5-P(0\leq Z \leq 2 ) \\
&=0.5-0.4772=0.0228
\end{align}

 

 

 

Example 2

확률변수 $X$는정규분포 $N\left( 10 , 2^2 \right)$ , 확률변수 $Y$는 정규분포 $N\left( m , 2^2 \right)$을 따르고, 확률변수 $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$와 $g(x)$이다. $f(12) \leq g(20)$을 만족시키는 $m$에 대하여, $P(21 \leq Y\leq 24)$ 의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [2020년 수능]

 

[풀이] 표준편차가 같기 때문에 두 함수는 같은 모양이다.

$f(12) \leq g(20)$에서 $\left | \,12-10 \, \right | \geq  \left |\, m-20 \,\right |$   $\therefore \; 18 \leq m \leq 22$

한편, $P(21 \leq Y\leq 24)$가 최대가 되기 위해서는

$\displaystyle\frac{21+24}{2}=22.5$에서 평균 $m$은 $22.5$에 가장 가까운 정수 $22$일 때 최대가 된다.

따라서 확률변수 $Y\sim N(22,\, 2^2)$을 따른다.

\begin{align}
P(21 \leq Y\leq 24)&=P(-0.5 \leq Z \leq 1) \\
&=0.1915+0.3413=0.5328
\end{align} 

 

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Example 3

확률변수 $X$는 평균 $m$, 표준편차 $5$인 정규분포를 따르고, 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(10)>f(20)$  (나) $f(4)>f(22)$

$m$이 자연수일 때 $P(17\leq X\leq 18)=a$이다. $1000a$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하여라.[2017년 수능]

$z$	$P(0\leq Z \leq z)$
0.6	0.226
0.8	0.288
1.0	0.341
1.2	0.385
1.4	0.419

 

[풀이]$\left | \,m-10 \, \right | <  \left |\, m-20 \,\right |$ 양변 제곱해서 정리해주면 $\therefore \;m<15$
$\left | \,m-4 \, \right | <  \left |\, m-22 \,\right |$ 양변 제곱해서 정리해주면 $\therefore \;m>13$
$13<m<15$  $\therefore \; m=14$ ($\because \; m$은 자연수 )
\begin{align}
a&=P(17 \leq X\leq 18) \\
&=P \left(  \frac{17-14}{5} \leq Z \leq \frac{18-14}{5} \right) \\
&=P(0.6 \leq Z \leq 0.8) \\
&=0.288-0.226=0.062
\end{align}$$\therefore \; 1000a=62$$