정적분을 이용한 급수의 합 구하기

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b}{n}k \right )\frac{c}{n} $$ $n\to 1$ 로   $k\to x$로   바꾸어  주고 $\displaystyle\int_{0}^{1}$과   $dx$로 닫아주면 된다.

간단하게 급수를 정적분 이용해서 구하는 TIP입니다. 가볍게 보시면 됩니다.주의할 점은 정적분으로 값이 존재하는 유형에서만 적용할 수 있습니다. 일반적으로 성립하는 내용은 아닙니다.  고등학교 과정에서 나오는 대부분 문제에서는 대부분 적용할 수 있습니다. 즉, 재미로 보시면 되겠습니다. 하지만 꽤나 강력합니다.

Example 1

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^2 + k^2} $ 값은?

[solve] $n\to1, \; k\to x, \; \displaystyle\int_{0}^{1}( \;\;) dx$

$$ \int_{0}^{1}\frac{2}{1+x^2}dx=\left [ \ln (1+x^2 ) \right ]_{0} ^{1}=\ln 2 $$

 

Example 2

$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2 -k^2} $값은?

[solve]  $n\to1, \; k\to x, \; \displaystyle\int_{0}^{1}(\; \;)dx$

$$ \int_{0}^{1}\frac{1}{1^3}x\sqrt{1^2 -x^2}dx=\int_{0}^{1} x\sqrt{1 -x^2}dx $$

$1-x^2 =t$ 로 치환하면 $-2x dx = dt$

$$-\frac{1}{2}\int_{1}^{0} x\sqrt{t}dx=-\frac{1}{3}\left [ t^{\frac{3}{2}} \right ]_{1}^{0}=\frac{1}{3}$$

 

 

Example 3

함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$가  $f(0)=0$,  $f(1)=1$ 이고 $\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)dx=\frac{3}{5}$ 일 때,  $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{k}{n}-f\left ( \frac{k}{n} \right )\right\}\frac{1}{n} $ 의 값을 구하여라.

[solve]  $n\to1, \; k\to x, \; \displaystyle\int_{0}^{1}(\; \;)dx$

준식$=\displaystyle\int_{0}^{1} \left \{ x-f(x) \right \} dx=\displaystyle\int_{0}^{1} g(x)dx -\frac{1}{2}=\frac{1}{10}$

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